Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 14a
Calcule o volume do tetraedro (SO) determinado pelas retas e pelo plano , nos casos:
(a)
Passo 1
Bora lá!
Para calcularmos o volume do tetraedro formado pelas retas e pelo plano dados no enunciado, é necessário que primeiro passemos as equações das retas para a forma vetorial e que calculemos seu produto misto.
Sejam, conforme no enunciado, as retas:
Passando-as para a forma vetorial, temos:
Passo 2
Igualaremos cada uma delas com o plano dado. Começando pela primeira reta, temos:
Vamos fazer a mesma coisa para a segunda e terceira reta.
Passo 3
Para a segunda, temos:
Por fim para a terceira, temos:
Não podemos nos esquecer da interseção das retas em:
Passo 4
Como sabemos das definições que o volume do tetraedro é um sexto do produto misto, calculando, temos:
Resposta
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Seja r a reta determinada pela interseção dos planos x + y – z = 0 e 2x – y + 3z – 1 = 0. Ache a equação do plano que passa por A = (1, 0, -1) e contém a reta r.
Ache as equações da reta que passa pelo ponto P = (1, 0, 1) e é paralela aos planos 2x + 3y + z +1 = 0 e x – y + z = 0
b) Ache equações da reta que passa pelo ponto A = (1, 0, 1) e intercepta a reta r ortogonalmente.
Calcule a e b para que a reta r esteja contida no plano π . Dados: r:x - 2 8 = y + 2 a = z - b 4 e π { a x+ 8 y - 16 z+12=0 .
Verifique se a reta ⎧x= 1 - 3 α⎧ r⎢y= 2+ α ⎢ ⎩z= 1-2 α⎩ está contida no plano determinado pelos pontos ( 1,0 , - 1 ) , ( 2,1 , 1 ) e ( 0,3 , 1 ) .