Calcule o volume do tetraedro (SO) determinado pelas retas r ,   s ,   t e pelo plano π , nos casos:

(a) r :     x + y + z - 5 = 0                     r : x = z = 0                     s : x = y = 0                     t : x - 2 y = z = 0

Passo 1

Bora lá!

Para calcularmos o volume do tetraedro formado pelas retas e pelo plano dados no enunciado, é necessário que primeiro passemos as equações das retas para a forma vetorial e que calculemos seu produto misto.

Sejam, conforme no enunciado, as retas:

r : x - z = 0

s : x - y = 0

t : x - 2 y - z = 0

Passando-as para a forma vetorial, temos:

r : X = 0 ,   0 ,   0 + α 0 ,   1 ,   0

s : X = 0 ,   0 ,   0 + β 0 ,   0 ,   1

t : X = 0 ,   0 ,   0 + γ 2 ,   1 ,   0

Passo 2

Igualaremos cada uma delas com o plano dado. Começando pela primeira reta, temos:

r : X 0 ,   0 ,   1 + α 0 ,   1 ,   0

π : 0 + α + 0 - 5 = 0

α = 5

A = ( 0 ,   5 ,   0 )

Vamos fazer a mesma coisa para a segunda e terceira reta.

Passo 3

Para a segunda, temos:

s : X = 0 ,   0 ,   0 + β 0 ,   0 ,   1

π : 0 + 0 + β - 5 = 0

β = 5

B = 0 ,   0 ,   5

Por fim para a terceira, temos:

t : X 0 ,   0 ,   0 + γ 2 ,   1 ,   0

π : 2 γ + γ + 0 - 5 = 0

γ = 5 3

C = 10 3 , 5 3 ,   0

Não podemos nos esquecer da interseção das retas em:

O = ( 0 ,   0 ,   0 )

Passo 4

Como sabemos das definições que o volume do tetraedro é um sexto do produto misto, calculando, temos:

V = 1 6 [ O A → , O B → , O C → ]

V = 1 6 250 3 = 125 9

Resposta

V = 125 9

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