Prove que o quadrilátero com vértices (1,2) , (5, -1) , (11, 7) e (7, 10) é um retângulo.

Passo 1

Da definição de retângulo, decorre que lados adjacentes são perpendiculares. Basta então provarmos que as retas-suporte de lados adjacentes são perpendiculares.

Passo 2

Para começar, vamos marcar os pontos no gráfico e encontrar as quatro retas suporte.

Para o lado A B - , y = - 1 - 2 5 - 1 ⋅ x - 1 + 2 = - 3 4 x - 1 + 2 .

Para o lado B C - , y = - 1 - 7 5 - 1 1 ⋅ x - 1 1 + 7 = 4 3 x - 1 1 + 7 .

Para o lado C D - , y = 7 - 10 11 - 7 ⋅ x - 1 1 + 7 = - 3 4 x - 1 1 + 7 .

Para o lado A D - , y = 10 - 2 7 - 1 ⋅ x - 1 + 2 = 4 3 x - 1 + 2 .

Passo 3

Para saber se são perpendiculares, basta verificar se o produto de seus coeficientes angulares é igual a - 1 :

Entre os lados A B - e   B C - , temos - 3 4 ⋅ 4 3 = - 1 .

Entre os lados B C - e   C D - , temos 4 3 ⋅ - 3 4 = - 1 .

Entre os lados C D - e   A D - , temos - 3 4 ⋅ 4 3 = - 1 .

Entre os lados A D - e   A B - , temos 4 3 ⋅ - 3 4 = - 1 .

Como todos deram - 1 , todas as retas-suporte e, por consequência, todos os lados adjacentes são perpendiculares. Portanto, é um retângulo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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