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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 2d

Determinar as matrizes das seguintes transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:

  1. F ∈ L R 3 , R 2 definida por F x , y , z = x + y , z
  2. F ∈ L R 2 , R 3 definida por F x , y = x + y , x , x - y
  3. F ∈ L R 4 , R definida por F x , y , z , t = 2 x + y - z + 3 t
  4. F ∈ L R , R 3 definida por F x = x , 2 x , 3 x

Passo 1

Temos um problema bem direto. Precisamos determinar a matriz de transformação F B , C , saindo da base B = 1 do R para a base C = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1 do R 3 .

O procedimento é bem repetitivo. O que pode acontecer é ele ser trabalhoso, a depender das bases que estamos trabalhando.

Mas o que temos que fazer? Simples, vamos pegar o vetor de B e aplicar a transformação F . Depois, vamos escrever como combinação dos vetores de C , isto é:

F 1 = 1,2 , 3 = α 11 1,0 , 0 + α 21 0,1 , 0 + α 31 0,0 , 1

1,2 , 3 = α 11 , α 21 , α 31

Então, se compararmos coordenada a coordenada, vamos obter α 11 = 1 , α 21 = 2 e α 31 = 3 .

Passo 2

Agora, basta montarmos a nossa matriz F B , C . Como a base B tem um vetor, teremos uma matriz com 1 colunas. Já como a base C tem três vetores, teremos uma matriz com 3 linhas.

Desta forma, a nossa matriz será:

F B , C = α 11 α 21 α 31

Então, substituindo os valores que obtivemos no Passo 2, temos:

F B , C = 1 2 3

E esta é a nossa solução da questão!

Resposta

F B , C = 1 2 3

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