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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 46

Determinar um par de vetores unitários e ortogonais entre si, em que um deles seja paralelo a v → = 6 i → + 8 j →

Passo 1

Beleza, temos que o vetor v → = 6 i → + 8 j → , podemos escrever esse vetor assim:

v → = ( 6,8 )

E nosso vetor u → vai ser desse jeitão aqui

u → = ( x , y )

Passo 2

Vamos dizer que u → e v → são paralelos, então temos que

v → = λ u →

6,8 = λ ( x , y )

Então temos:

λ x = 6

λ = 6 x

E

λ y = 8

λ = 8 y

Igualando os dois λ ' s ficamos com

6 x = 8 y

Disso daí tiramos que

x = 6 y 8 = 3 y 4

u → = ( 3 y 4 , y )

Passo 3

Como o vetor u → tem que ser unitário, temos que

u → = 1

Lembrando que calculamos o módulo assim:

u → = x 2 + y 2

x 2 + y 2 = 1

Como x = 3 y 4

3 y 4 2 + y 2 = 1

Elevando os dois lados ao quadrado temos:

9 y 2 16 + y 2 = 1

25 y 2 = 16

y 2 = 16 25

y = ± 4 5

u 1 → = 3 * 4 5 4 , 4 5

u 1 → = 3 5 , 4 5  

Esse é o nosso vetor paralelo.

Passo 4

Para acharmos o vetor ortogonal ao vetor   u → , podemos fazer o produto escalar e igualar a zero ooou usar esse macete aqui que vou te mostrar:

Se a e b são ortogonais e a = ( x , y ) , então b = ( y , - x ) ou b = ( - y , x ) . A gente inverte as coordenadas e escolhe uma para colocar o sinal negativo

Como u → = 3 5 , 4 5 , temos que o vetor perpendicular dele (através desse macete) é:

w → = 4 5 , - 3 5

Ou

w → = - 4 5 , 3 5

Resposta

O par de vetores é

3 5 , 4 5   e   4 5 , - 3 5

Ou

3 5 , 4 5   e   - 4 5 , 3 5

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