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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 62c

Sejam a → e b → nao-nulos.

(c) Por analogia, tente generalizar os resultados dos itens (a) e (b) para n projeções sucessivas .  

Passo 1

Bora lá!

Neste exercício, devemos generalizar os resultados dos itens anteriores para n projeções sucessivas.

Antes de colocarmos a mão na massa, vamos lembrar nas respostas obtidas em (a) e (b)

(a) p r o j v → p r o j u → v → = u → . v → 2 u → 2 v → 2 v → ; b   p r o j u → p r o j v → p r o j u → v → = v → . u → 3 u → 4 v → 2 u → .

Passo 2

Agora, vamos usar o Princípio da Indução Infitina para generalizarmos os resultados. Podemos notar que, para n par, a expressão pode ser escritar na forma genérica da seguinte maneira:

n . p r o j u → v → = v → . u → n u → n v → n v →

Passo 3

Já para o caso de n ímpar, temos

n . p r o j u → v → = v → . u → n u → n + 1 v → n - 1 u →

Passo 4

Portanto, podemos resumir que para n par, temos n . p r o j u → v → = v → . u → n u → n v → n v →   e, para n ímpar n . p r o j u → v → = v → . u → n u → n + 1 v → n - 1 u → .  

Resposta

v → . u → n u → n v → n v → para n par, e v → . u → n u → n + 1 v → n - 1 u → para n ímpar.

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Mostrar que se u → e v → são vetores, tal que u → + v → é ortogonal a u → - v → , então u → = | v → | .
O vetor v → é ortogonal aos vetores a → = ( 1 ,2 ,0 ) e b → = ( 1 ,4 ,3 ) e forma ângulo agudo com o eixo dos x . Determinar v → , sabendo que v → = 14 .
Demonstrar que a → × b → = b → × c → = c → × a → , sabendo que a → + b → + c → = 0 → .
Determinar o vetor v → , paralelo ao vetor u → = ( 2 , - 1,3 ) , tal que v → . u → = - 42 .
Determinar o vetor v → , ortogonal ao eixo O y , v → . v → 1 = 8 e v → . v → 2 = - 3 , sendo v → 1 = ( 3,1 , - 2 ) e v → 2 = ( - 1,1 , 1 ) .