Sejam a → e b → nao-nulos.

(c) Por analogia, tente generalizar os resultados dos itens (a) e (b) para n projeções sucessivas .  

Passo 1

Bora lá!

Neste exercício, devemos generalizar os resultados dos itens anteriores para n projeções sucessivas.

Antes de colocarmos a mão na massa, vamos lembrar nas respostas obtidas em (a) e (b)

(a) p r o j v → p r o j u → v → = u → . v → 2 u → 2 v → 2 v → ; b   p r o j u → p r o j v → p r o j u → v → = v → . u → 3 u → 4 v → 2 u → .

Passo 2

Agora, vamos usar o Princípio da Indução Infitina para generalizarmos os resultados. Podemos notar que, para n par, a expressão pode ser escritar na forma genérica da seguinte maneira:

n . p r o j u → v → = v → . u → n u → n v → n v →

Passo 3

Já para o caso de n ímpar, temos

n . p r o j u → v → = v → . u → n u → n + 1 v → n - 1 u →

Passo 4

Portanto, podemos resumir que para n par, temos n . p r o j u → v → = v → . u → n u → n v → n v →   e, para n ímpar n . p r o j u → v → = v → . u → n u → n + 1 v → n - 1 u → .  

Resposta

v → . u → n u → n v → n v → para n par, e v → . u → n u → n + 1 v → n - 1 u → para n ímpar.

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