Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 38c
Determinar o subespaço de (espaço vetorial dos polinômios de grau ) gerado pelos seguintes vetores:
Passo 1
O melhor jeito pra mexer com espaço vetorial e polinômios é associá-los a um vetor, fazendo assim: vamos associar o polinômio ao vetor . Isso deixa a gente trabalhar com muita liberdade com o espaço vetorial. Usando essa idéia, vamos obter:
Passo 2
Agora, pra encontrar o espaço vetorial, lembra do seguinte: o espaço gerado pelos vetores são todas as combinações lineares que conseguimos fazer com eles! Daí, um polinômio qualquer desse espaço vai ser escrito assim:
Vamos ficar com o sistema:
Passo 3
Cara, esses coeficientes , e são completamente livres! A gente tinha os coeficientes , e da combinação linear, e eles são os coeficientes do polinômio. Por isso, se eles são livres, a gente pode percorrer o conjunto dos reais todinho com cada um deles. Bom, como temos três vetores, cada um percorrendo o conjunto dos reais, nós vamos dizer que o espaço gerado por eles é o todo. Mas a gente não tá tratando de vetores, né? A gente tá tratando de coeficientes de um polinômio. Como eles são coeficientes do polinômio de grau menor ou igual a , e todos os coeficientes são livres, o nosso espaço gerado são todos os polinômios de grau menor ou igual a , que conhecemos como .