Enunciado

Determinar o subespaço de R 4 gerado pelos vetores u = ( 2 ,   - 1 ,   1 ,   4 ) , v = ( 3 ,   3 ,   - 3 ,   6 ) e w = ( 0 ,   4 ,   - 4 ,   0 ) .

Passo 1

O subespaço gerado pelos vetores vai ser o conjunto de todas as combinações lineares deles. Então, um vetor qualquer desse subespaço vai ser dado por:

x ,   y ,   z ,   t = a u + b v + c w

x , y , z , t = a 2 ,   - 1 ,   1 ,   4 + b 3 ,   3 ,   - 3 ,   6 + c ( 0 ,   4 ,   - 4 ,   0 )

Isso vai nos dar o sistema:

x = 2 a + 3 b y = - a + 3 b + 4 c z = a - 3 b - 4 c t = 4 a + 6 b

Passo 2

Agora precisamos sumir com esses termos a , b e c pra achar uma equação do nosso subespaço! Dá uma olhada pra cara das equações porque vai ser quase que imediata a relação entre os termos! Primeiro pra última equação:

t = 4 a + 6 b = 2 2 a + 3 b

t = 2 x

E agora pra terceira:

z = a - 3 b - 4 c

z = - - a + 3 b + 4 c

z = - y

Passo 3

Por isso o nosso subespaço vai ser dado por:

x , y , z , t ∈ R 4 ; t = 2 x ,   z = - y

Resposta

x , y , z , t ∈ R 4 ; t = 2 x ,   z = - y

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