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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.4 - Ex. 24

Seja p n o subespaço dos polinômios de grau menor ou igual a n .

a) Mostre que existe um subespaço w 2   de p , tal que   p = p n ⊕ w 2 .

b) Seja w 3 um subespaço de p n . Seja { p 0 , … , p k } uma base de w 3 e { p 0 , … , p k , p k + 1   , … , p n } uma base de p n . Mostre que { p 0 , … , p n , x n + 1   , x n + 2   , … } e uma base de p .

c) Mostre que existe um subespaço w 4 de p , tal que p = w 3 ⊕ w 4 .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja p n o subespaço dos polinômios de grau menor ou igual a n .

a) Mostre que existe um subespaço w 2   de p , tal que   p = p n ⊕ w 2 .

b) Seja w 3 um subespaço de p n . Seja { p 0 , … , p k } uma base de w 3 e { p 0 , … , p k , p k + 1   , … , p n } uma base de p n . Mostre que { p 0 , … , p n , x n + 1   , x n + 2   , … } e uma base de p .

c) Mostre que existe um subespaço w 4 de p , tal que p = w 3 ⊕ w 4 .

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Na letra (a) para, w 2   de p , tal que   p = p n ⊕ w 2 temos,

p n = p n - 1 ⊕ w 2

Na letra (b) para mostrarmos que { p 0 , … , p n , x n + 1   , x n + 2   , … } , temos

p 1 t = t + b t - c ,   p 2 t = ( t - a ) ( t - c )

Na letra ( c ) para w 4 de p tal que p = w 3 ⊕ w 4 temos,

w = { p ∈ p n | p a = 0 }

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) p n = p n - 1 ⊕ w 2

b) p 1 t = t + b t - c ,   p 2 t = ( t - a ) ( t - c )

c) w = { p ∈ p n | p a = 0 }

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