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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 11.7.2 - Ex. 2b

Determine as cônicas representadas pelas equações abaixo, encontrando também seus focos, diretrizes e excentricidade.

9 x 2 - 18 y 2 + 54 x - 36 = 0

Passo 1

Temos um termo linear de x na nossa equação, precisamos completar o quadrado e ficar com algo do tipo x 2 + 2 x o x + x o 2 que podemos reescrever como x + x o 2 e teremos uma cônica de origem x o ,   0 . Vamos começar colocando 9 em evidência e ir fazendo uma álgebra pra chegar no que queremos.

9 x 2 + 6 x - 4 - 18 y 2 = 0

Do termo que acompanha o x dentro dos parênteses já sabemos que: 6 = 2 x o → x o = 3

Passo 2

Agora queremos fazer com que o valor independente dentro do parêntese seja x o 2 = 9 . Para isso temos que somar um valor 9 s de ambos os lados da equação de tal forma que:

- 4 + s = 9

Daí:

s = 13

E ficamos com:

9 x 2 + 6 x + 9 - 18 y 2 = 117

Agora sim! Podemos reescrever:

9 x + 3 2 - 18 y 2 = 117

Na forma canônica:

x + 3 2 13 - y 2 13 2 = 1

Temos uma hipérbole centrada em - 3 ,   0 !

Passo 3

Fazendo o gráfico dessa figura:

Passo 4

Agora vamos calcular os parâmetros dessa hipérbole:

Seu foco será em F 1 = x 0 - c ,   0 ; F 2 = ( x 0 + c , 0 ) .

c = a 2 + b 2 = 13 2 + 13 2 2 = 13 5 2 ≈ 14.53

Daí os focos ficaram em - 16 ,   0 ; 10 ,   0

Suas retas diretrizes serão:

x 1 = - a e + x o ; x 2 = a e + x o

x 1 = - 13 14.53 - 3 → x 1 = - 3.89

x 2 = 13 14.53 - 3 → x 2 = - 2.11

E pra finalizar, temos a excentricidade:

e = c a = 14.53 13 = 1.18

Resposta

c = 14.53

x 1 = - 3.89 ;   x 2 = - 2.11

e = 1.18

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