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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.3 - Ex. 14

Ache o centro, os vértices, os focos e as equações das assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço da curva e de suas assíntotas e mostre os focos.

4 x 2 - y 2 + 56 x + 2 y + 195 = 0

Passo 1

Primeiramente vamos passar a equação para a forma reduzida ao completarmos o quadrado de x e y .

4 x 2 + 56 x + 196 - y 2 + 2 y - 1 + 19 5 = 0 + 196 - 1

4 x 2 + 14 x + 49 - y 2 - 2 y + 1   = 1 96 - 195 - 1

4 x + 7 2 - y - 1 2 = 0

x + 7 2 1 4 - y - 1 2 1   = 0

Desta forma temos que o centro é - 7 ,   1 . Além disso a 2 = 1 4   e   b 2 = 1 que nos dão os valores dos eixos a = 1 2 e  b = 1 .

Passo 2

Agora para achar os vértices tomamos o centro e somamos ou subtraímos a da coordenada da qual o eixo principal é paralelo. Neste caso temos que fazer isso em x .

V 1 = - 7 + 1 2 , 1

V 1 = - 13 2 , 1

V 2 = - 7 - 1 2 , 1

V 2 = - 15 2 , 1

Passo 3

Para os focos o mesmo procedimento dos vértices pode ser aplicado, mas em relação a c . Assim basta encontrar c   pela Relação Pitagórica.

a 2 + b 2 = c 2

1 4 + 1 = c 2

5 4 = c

5 2 = c

F 1 = - 7 + 5 2 , 1

F 2 = - 7 - 5 2 , 1

Passo 4

As assíntotas são dadas como f x : ( y - h ) = b a x - k e g x :   ( y - h ) = - b a x - k .

f x : ( y - 1 ) = 1 1 2 x + 7

f x : ( y - 1 ) = 2 x + 7

f x : y = 2 x + 15

g x : y - 1 = - 1 1 2 x + 7

g x : y - 1 = - 2 x + 7

g x : y = - 2 x - 13

Resposta

C = - 7 ,   1

V 1 = - 13 2 , 1

V 2 = - 15 2 , 1

F 1 = - 7 + 5 2 , 1

F 2 = - 7 - 5 2 , 1

f x : y = 2 x + 15

g x : y = - 2 x - 13

As retas que deveriam ser assíntotas se sobrepõem à hipérbole. A representação gráfica em vermelho trata-se de uma hipérbole degenerada e se assemelha a duas retas concorrentes.

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Obtenha equações das retas tangentes à hipérbole H :- 4 x 2 + 2 y 2 = 3 que são paralelas à reta de equação 6 x - 3 y = 0 .
Obtenha uma equação reduzida da hipérbole de centro O que tem focos em um dos eixos coordenados, excentricidade 2, e contém o ponto 2 , 7 .
Calcule a medida angular entre as retas tangentes à hipérbole de equação x 2 - 2 y 2 = 2 nos pontos P = 2 , - 1eQ = 2,0 .
Mostre que a regra prática para se obter uma equação da reta tangente no ponto T = h , k não exige que a equação da hipérbole esteja na forma reduzida: é suficiente que ela contenha apenas termos em x
A planta baixa de um muro tem a forma de um ramo de hipérbole. Bernardes, encostado ao muro, foi atingido por um tiro disparado por Arthur, que ocupava o foco. Durante o inquérito policial, Arthur ale