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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.3 - Ex. 13

Ache o centro, os vértices, os focos e as equações das assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço da curva e de suas assíntotas e mostre os focos.

3 y 2 - 4 x 2 - 8 x - 24 y - 40 = 0

Passo 1

Primeiramente vamos passar a equação para a forma reduzida ao completarmos o quadrado de x e y .

3 y 2 - 24 y + 48 - 4 x 2 - 8 x - 4 - 40 = 0 + 48 - 4

3 ( y 2 - 8 y + 16 ) - 4 x 2 + 2 x + 1   = 84

y - 4 2 28 - x + 1 2 21   = 1

Desta forma temos que o centro é - 1 ,   4 . Além disso a 2 = 28   e   b 2 = 2 1 que nos dão os valores dos eixos a = 2 7   e   b = 21 .

Passo 2

Agora para achar os vértices tomamos o centro e somamos ou subtraímos a da coordenada da qual o eixo principal é paralelo. Neste caso temos que fazer isso em y .

V 1 = - 1 ,   4 + 2 7

V 2 = - 1 ,   4 - 2 7

Passo 3

Para os focos o mesmo procedimento dos vértices pode ser aplicado, mas em relação a c . Assim basta encontrar c   pela Relação Pitagórica.

a 2 + b 2 = c 2

28 + 21 = c 2

49 = c

7 = c

F 1 = - 1 ,   4 + 7

F 1 = - 1 ,   11

F 2 = - 1 ,   4 - 7

F 2 = - 1 - 3

Passo 4

As assíntotas são dadas como f y : ( x - k ) = b a ( y - h ) e g y :   x - k = - b a ( y - h ) .

f y : x + 1 = 21 2 7 ( y - 4 )

f y : x + 1 = 3 2 ( y - 4 )

f y : x = 3 2 y - 2 3 - 1

g y : x + 1 = - 21 2 7 ( y - 4 )

g y :   x + 1 = - 3 2 ( y - 4 )

g y : x = - 3 2 y + 2 3 - 1

Resposta

C = - 1 ,   4

V 1 = - 1 ,   4 + 2 7

V 2 = - 1 ,   4 - 2 7

F 1 = - 1 ,   11

F 2 = - 1 - 3

f y : x = 3 2 y - 2 3 - 1

g y : x = - 3 2 y + 2 3 - 1

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