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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 7.Exercícios Propostos - Ex. 10

Determine uma equação cartesiana do plano que passa pelo ponto A = ( 2,1 , 0 ) e é perpendicular aos planos x + 2 y - 3 z + 2 = 0 e 2 x - y + 4 z - 1 = 0 .

Passo 1

Fala aeeee, pessoal! Tudo bem? 😊

Para determinarmos a equação cartesiana de um plano precisamos de um vetor perpendicular ao plano e um ponto que pertença a esse plano. Ou seja:

v →   ⊥ π

e

A   ∈ π

Passo 2

Do enunciado, tiramos que A = 2,1 , 0 ∈ π .

Como o plano π é perpendicular aos planos x + 2 y - 3 z + 2 = 0 e 2 x - y + 4 z - 1 = 0 . Temos que:

v → = u →   x   w →

Sendo u → = ( 1,2 , - 3 ) e w → = ( 2 , - 1,4 ) vetores perpendiculares aos planos dados.

Passo 3

Assim:

v → = d e t 1 2 - 3 2 - 1 4 i → j → k → = - k → + 8 i → - 6 j → - ( 3 i → + 4 j → + 4 k → )

v → = 5 i → - 10 j → - 5 k → = ( 5 , - 10 , - 5 )

Logo, nosso plano π será:

π : 5 x - 10 y - 5 z + d = 0

Como A = ( 2,1 , 0 )   ∈ π :

π : 10 - 10 + d = 0

π : d = 0

Portanto, π será:

π : 5 x - 10 y - 5 z = 0 ÷ 5

π : x - 2 y - z = 0

Resposta

π : x - 2 y - z = 0