Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 23c
Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta e forma ângulo de radianos com .
(a)
Passo 1
Antes de mais nada, vamos encontrar a equação daquela reta .
O enunciado deu duas equações planares para a reta:
Cada uma dessas equações é um plano. Podemos escrever cada uma na forma paramétrica:
Ou seja, cada ponto no plano é:
E para o segundo plano:
Então cada ponto é:
Agora vamos igualar as duas:
E transformar isso em um sistema de três equações:
Escrevendo todas essas variáveis em termos de , ficamos com:
Substituindo isso na fórmula de qualquer um dos dois planos lá de cima, o , por exemplo:
Colocando , chegamos na equação de uma reta, que é a interseção dos dois planos:
Passo 2
O plano que a gente quer encontrar para responder a questão precisa conter a reta . Isso quer dizer que se o plano tem essa equação geral aqui:
O vetor normal a ele é:
E se está no plano, então tem que ser normal ao vetor diretor da reta também. Se eles são normais, então esse produto interno aqui tem que ser nulo:
Vamos procurar outras condições para o plano.
Passo 3
Se o ângulo formado pela reta e o nosso plano é , então:
Onde é o vetor normal que definimos lá em cima, e é o vetor diretor da reta que apareceu lá no enunciado:
E agora fazendo o produto interno:
E os módulos são:
Substituindo tudo isso na fórmula de cima:
E o enunciado disse que :
Passo 4
E vamos ver o que essa equação diz:
Lá no passo , a gente viu que:
Então ali do lado direito da equação:
Qual é a única forma de essa equação aí de cima ser verdadeira? Vamos elevar os dois lados ao quadrado:
E como esses dois números são positivos (porque estão elevados ao quadrado), a soma deles nunca vai dar zero! A não ser que:
Então essa é a condição do nosso plano! E a equação geral é:
Isso quer dizer que o nosso plano é paralelo ao plano :
Que é uma constante qualquer, que podemos representar simplesmente por :
Passo 5
Como a gente pode definir essa constante? Bom, a ideia é que esse plano:
Contenha a reta :
Isso quer dizer que o ponto , que está na reta , também tem que estar no plano. Ou seja:
A equação geral é:
Pronto! Essa é a equação do plano que estávamos procurando.
Resposta
O plano é .