Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 23a
Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta e forma ângulo de radianos com .
(a)
Passo 1
Antes de mais nada, vamos melhorar a equação daquela reta , que está na forma planar:
A gente pode separar isso em duas equações:
E cada uma dessas equações de tá um plano, que podemos escrever na forma paramétrica:
Ou seja, deixamos e livres, iguais a dois parâmetros e . Então esse plano (vamos chamar de ) é:
Fazendo a mesma cosa para a segunda equação:
E então:
E a nossa reta é a interseção desses dois planos.
Passo 2
Para encontrar essa equação, vamos igualar e :
Isso dá um sistema de três equações:
Como são três equações e quatro incógnitas, vamos ter um grau de liberdade. A gente pode, por exemplo, escrever todas as variáveis em função de .
Então, pela terceira equação:
Substituindo isso na segunda:
E substituindo isso na terceira:
Beleza, agora é só jogar esses resultados em uma das equações de plano. Vamos pegar , por exemplo:
Substituindo tudo em função de :
E então a equação vetorial da reta é:
Mas o que realmente importa aqui é o vetor diretor da reta :
Ok, vamos em frente.
Passo 3
Vamos supor que o vetor normal ao plano seja:
Se a nossa reta está contida no plano, então ela tem que ser normal a esse vetor, certo?
Isso quer dizer que o produto interno do vetor diretor e tem que ser nulo:
O vetor já foi dado no enunciado, então:
Ok, essa é nossa primeira equação.
Passo 4
Agora vamos lembrar da equação para o ângulo entre a reta e o plano.
Se a reta tem vetor diretor e o plano tem vetor normal , o ângulo entre eles é:
Substituindo com as expressões:
E vamos encontrar o seno do ângulo a partir do cosseno:
Vamos chamar esse valor de , que é uma constante, só para facilitar a conta:
E além dessa, temos a outra equação lá de cima:
Passo 5
Agora temos que fazer um pequeno salto. A nossa ideia é, depois que encontrarmos e , que são as coordenadas do vetor normal ao plano, nós vamos ter a equação do plano:
Mas como nós só temos duas equações e três variáveis:
Poderíamos ter um problema aí. Mas nós podemos fazer uma escolha arbitrária:
Isso só vai fixas o sinal e o comprimento do vetor normal, que não são relevantes para definir o plano! A direção, que é só o que importa aqui, não é fixada fazendo essa escolha.
Mas então tá, se , então:
Então vamos deixar tudo em função de . Substituindo ali em cima:
Elevando tudo ao quadrado:
Passo 6
Isso é uma equação de segundo grau em . Para saber se ela tem solução, vamos olhar para o da equação:
Lembrando da nossa expressão para :
Ou seja:
Aqui você nem precisa fazer a conta pra perceber que esse número é negativo! Então:
E a equação não tem raiz real! Isso quer dizer que nenhum plano satisfaz a nossa condição!
Resposta
Não existe nenhum plano que satisfaça essas condições.