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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas Propostos - Ex. 21

Determine a equação geral do plano que contém os seguintes pares de retas:

r : x - 1 2 = y + 2 3 = z - 3 - 1       e     s : x - 1 - 2 = y + 2 - 1 = z - 3 2

Passo 1

E aí tudo joia?

Precisamos encontrar um vetor normal ao plano pra escrever a equação geral dele.

Aqui a gente tem duas retas escritas em equações simétricas. Como achar um vetor nisso?

A gente pode jogar isso pra equação paramétrica e tirar o vetor diretor facinho, que ver? Vem comigo...

Passo 2

Vamos pra reta r primeiro:

r : x - 1 2 = y + 2 3 = z - 3 - 1

Igualando cada trechinho a t , temos:

x - 1 2 = t → 2 t = x - 1 →     x = 2 t + 1

y + 2 3 = t → 3 t = y + 2 → y = 3 t - 2

z - 3 - 1 = t → z - 3 = - t → z = - t + 3

O vetor diretor são os coeficientes de t , então:

( 2,3 , - 1 )

É o vetor diretor da reta r 😉

Passo 3

Vamos fazer o mesmo na reta s , chamando agora o parâmetro de s :

s : x - 1 - 2 = y + 2 - 1 = z - 3 2

x - 1 - 2 = s → x - 1 = - 2 s → x = - 2 s + 1

y + 2 - 1 = s → y + 2 = - s → y = - s - 2

z - 3 2 = s → z - 3 = 2 s → z = 2 s + 3

E então o vetor diretor da reta s é:

( - 2 , - 1,2 )

Passo 4

Temos então os dois vetores das retas, que são paralelos ao plano. Pra achar um vetor normal, a gente vai fazer o produto vetorial entre eles:

det ⁡ i → j → k → 2 3 - 1 - 2 - 1 2 = i → 3 - 1 - 1 2 - j → 2 - 1 - 2 2 + k → 2 3 - 2 - 1

= 5 i → - 2 j → + 4 k →

Temos um vetor normal então (uhuull!) que é o ( 5 , - 2,4 ) .

Nosso plano então é da forma:

5 x - 2 y + 4 z + d = 0

Passo 5

Vamos achar esse d agora pegando um ponto qualquer das retas e jogando nessa equação do plano. Vou pegar o ponto da reta r quando t = 0 :

A ( 1 , - 2,3 )

5 1 - 2 - 2 + 4 3 + d = 0

d = - 21

O nosso plano então é:

5 x - 2 y + 4 z - 21 = 0

E prontinho! Finalmente encontramos nosso plano😉

Resposta

5 x - 2 y + 4 z - 21 = 0

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