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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 08

Sejam r : X = 0,0 , 0 + λ 1,0 , 0 e X = 1,0 , 0 + λ 0,1 , 0 e t : X = 0,1 , 0 + λ 0,0 , 1 . Obtenha uma equação vetorial da reta concorrente com r , s e t , e paralela ao plano π : 2 x + y + z + 1 = 0 .

Passo 1

Inicialmente, sejam A ,   B ,   C os pontos de intersecção com r ,   s e t :

A = k 1 ,   0 ,   0

B = 1 , k 2 , 0

C = 0 ,   1 ,   k 3

Notemos que A ,   B ,   C são colineares (pois pertencem à reta que estamos procurando). Assim, temos que

A B → × A C → = 0 → ⟹ i ^ j ^ k ^ 1 - k 1 k 2 0 - k 1 1 k 3 = 0 → ⟹ k 2 k 3 ,   k 1 k 3 - k 3 , 1 - k 1 + k 1 k 2 = 0,0 , 0

∴ k 2 k 3 = 0 k 3 k 1 - 1 = 0 k 1 k 2 = 0

Passo 2

Notemos ainda que tanto A B → quanto A C → será vetor diretor da reta que procuramos. Como tal reta é paralela ao plano π (cujo vetor diretor é 2,1 , 1 ), segue que:

A C → ⋅ 2,1 , 1 = 0 ⟹ - k 1 , 1 , k 3 ⋅ 2,1 , 1 = 0 ∴ 2 k 1 - k 3 = 1

Passo 3

Assim, as 4 equações acima devem ser satisfeitas. Notemos que:

  1. A primeira equação do sistema pode nos dar k 3 = 0 e a última k 2 = 0 . Com essas condições, a segunda equação é satisfeita. Logo, basta que 2 k 1 = 1 ∴ k 1 = 1 / 2 . Logo:

    2. A = 1 2 , 0,0 ;     C = 0 ,   1,0

    A equação da reta será:

    v : X = 0,1 , 0 + λ - 1 2 , 1,0

  2. Se tivermos k 2 = 0 e k 1 = 1 , todas as equações serão satisfeitas. Logo, basta que k 3 = - 1 . Logo:

A = 1 ,   0 ,   0   ;         C = 0,1 , - 1

A equação da reta será:

v : X = 1,0 , 0 + λ 1 , - 1,1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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