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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 50

O plano π contém a reta r e sua interseção com o tetraedro A B C D é um paralelogramo. Sendo r : X = 0 ,   2 ,   5 + λ 1 ,   - 2 ,   6 , A = 1,1 , 1 ,   B = - 2,7 , 1 ,   C = 1,4 , 7 e D = 7 , - 2,1 , obtenha uma equação geral de π .

Passo 1

Uma condição necessária para que a intersecção de um plano com um tetraedro seja um paralelogramo é que o plano seja paralelo a duas arestas opostas do tetraedro.

Passo 2

Como π já contém r , então devemos verificar quais das seguintes triplas de vetores é LD (já que elas serão coplanares): r → ,   A B → ,   C D → ,   r → ,   A C → ,   B D → , r → ,   A D → ,   B C → .

Passo 3

Vamos fazer tal verificação:

  1. r → ,   A B → ,   C D → = 1 ,   - 2 ,   6 ,   - 3 ,   6,0 ,   6 , - 6 , - 6

    2. Para verificar que é LD, basta tomarmos o determinante:

    1 - 2 6 - 3 6 0 6 - 6 - 6 = - 108 ≠ 0

    de modo que a tripla é LI.

  2. r → ,   A C → ,   B D → = 1 , - 2 ,   6 ,   0,3 , 6 , 9 ,   - 9,0

    3. 1 - 2 6 0 3 6 9 - 9 0 = 54 ≠ 0

    de modo que a tripla é LI.

  3. r → ,   A D → ,   B C → = 1 ,   - 2 ,   6 ,   6 ,   - 3 ,   0 ,   3 ,   - 3 ,   6

1 - 2 6 6 - 3 0 3 - 3 6 = 0

o que mostra que a tripla é LD.

Passo 4

Portanto, a equação do plano poderá ser obtida da seguinte maneira: o vetor diretor será o produto escalar de dois dos três vetores r → ,   A D → ,   B C → . Vamos pegar 1 ,   - 2 ,   6 e 3 2 ,   - 1 ,   0 :

i ^ j ^ k ^ 1 - 2 6 2 - 1 0 = 3 2 ,   4 ,   1

Assim, a equação será

2 x + 4 y + z + d = 0

Como o plano contém r , então deve conter o ponto 0 ,   2 ,   5 :

2 ⋅ 0 + 4 ⋅ 2 + 5 + d = 0 ∴ d = - 13

A nossa resposta será:

2 x + 4 y + z - 13 = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Sejam a reta r e o plano π dado por r : y = 2 x - 3 z = - x + 2 e π : 2 x + 4 y - z - 4 = 0 Determinar:O ponto de interseção de r com π ;
Estabelecer equação reduzidas na variável x da reta de interseção dos planos: π 1 : 3 x - y + 2 z - 1 = 0 e π 2 : x + 2 y - 2 z - 4 = 0
Encontrar as equações paramétricas da reta de interseção da reta r com o plano π . π 1 : 3 x + y - 3 z - 5 = 0 e π 2 : x - y - z - 3 = 0
Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano π . r : x = 3 t ,y = 1 - 2 t ,x = - t e π : 2 x + 3 y - 2 z - 7 = 0
Calcular os valores de m e n para que a reta r esteja contida no plano π r : x = 1 + 3 t y = - 2 + m t z = n - 4 t e π : 3 x - 3 y + z - 7 = 0