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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 11

Sejam A = x 1 , y 1 , z 1 e B = x 2 , y 2 , z 2 as extremidades de um diâmetro da superfície esférica S e P um ponto distinto de A e B . Prove que:

(a) x - x 1 x - x 2 + y - y 1 y - y 2 + z - z 1 z - z 2 = 0 é uma equação de S (equação diametral).

(b) P pertence a S se, e somente se, P vê o diâmetro A B sob ângulo reto.

Passo 1

Então pessoal, se A e B são as extremidades do diâmetro, então o ponto médio entre eles é o centro da esfera S :

C = 1 2 A + B

C = 1 2 x 1 , y 1 , z 1 + x 2 , y 2 , z 2

C = 1 2 x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2

E o raio da esfera é a metade do comprimento do segmento A B - :

A B - = x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1

r = 1 2 A B - = 1 2 x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2

Lembrando que se uma esfera tem centro C = x 0 , y 0 , z 0 e raio r , a equação é:

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = r 2

Então a equação da esfera S é:

x - x 1 + x 2 2 2 + y - y 1 + y 2 2 2 + z - z 1 + z 2 2 2 = 1 2 x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 2

x - x 1 + x 2 2 2 + y - y 1 + y 2 2 2 + z - z 1 + z 2 2 2 = 1 4 x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2

Beleza, vamos tentar seguir a partir daí.

Passo 2

Agora vamos lembrar desse produto notável:

x - x 1 + x 2 2 2 + y - y 1 + y 2 2 2 + z - z 1 + z 2 2 2 = 1 4 x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2

Os termos para todas as variáveis são idênticos. Então para evitar confusão, vamos fazer para um termo só e então replicar o resultado para os outros.

Vamos usar os termos que dependem de x :

x - x 1 + x 2 2 2 = 1 4 x 2 - x 1 2

Abrindo os dois produtos notáveis:

x 2 - 2 x x 1 + x 2 2 + x 1 + x 2 2 4 = 1 4 x 2 2 - 2 x 1 x 2 + x 1 2

x 2 - x x 1 + x 2 + 1 4 x 1 2 + 2 x 1 x 2 + x 2 2 = 1 4 x 2 2 - 2 x 1 x 2 + x 1 2

x 2 - x x 1 + x 2 + 1 4 x 1 2 + x 2 2 + 1 2 x 1 x 2 = 1 4 x 1 2 + x 2 2 - 1 2 x 1 x 2

Cortando os termos iguais dos dois lados:

x 2 - x x 1 + x 2 + 1 2 x 1 x 2 = - 1 2 x 1 x 2

E somando - 1 2 x 1 x 2 dos dois lados:

x 2 - x x 1 + x 2 + x 1 x 2 = 0

x 2 - x x 1 - x x 2 + x 1 x 2 = 0

x - x 1 x - x 2 = 0

Que é exatamente a forma da equação diametral, conforme o enunciado! Se você fizer exatamente a mesma coisa e somar tudo, vai chegar na igualdade que foi pedida.

Passo 3

O próximo passo é mostrar o que está nesse desenho aqui:

Isso quer dizer que os vetores P A → e P B → têm que ser ortogonais.

Se o ponto P é:

P = x , y , z

Então:

P A → = x , y , z - x 1 , y 1 , z 1 = x - x 1 , y - y 1 , z - z 1

P B → = x , y , z - x 2 , y 2 , z 2 = x - x 2 , y - y 2 , z - z 2

Se os vetores são ortogonais, então o produto escalar é:

P A → ∙ P B → = 0

x - x 1 , y - y 1 , z - z 1 ∙ x - x 2 , y - y 2 , z - z 2 = 0

Resolvendo o produto escalar:

x - x 1 x - x 2 + y - y 1 y - y 2 + z - z 1 z - z 2 = 0

Que é exatamente a equação que nós encontramos lá em cima para um ponto na esfera S ! Isso prova o que o enunciado pediu!

Todo ponto P = x , y , z na esfera S tem que enxergar o diâmetro A B sob um ângulo reto.

Resposta

(a) Demonstração.

(b) Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

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