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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 10d

Nos casos em que o lugar geométrico é uma superfície esférica determine o centro e o raio.

(a) Lugar geométrico dos pontos X de E 3 tais que a soma dos quadrados de suas distâncias aos planos π 1 : x - y + 4 = 0 , π 2 : x + y - 2 = 0 e π 3 : z + 1 = 0 seja 20 .

Passo 1

Vamos tentar resolver esse problema só usando um pouco de álgebra.

O primeiro passo aqui é relembrar a fórmula que dá a distância de um ponto a um plano.

Se temos um plano com essa equação geral:

a x + b y + c z + d = 0

E um ponto com essas coordenadas:

X = x 0 , y 0 , z 0

Então a distância do ponto ao plano é:

d X , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Ok, vamos encontrar esses valores para cada um dos planos.

Passo 2

Para o plano π 1 :

x - y + 4 = 0         ⇒           a = 1 b = - 1 c = 0 d = 4

Então:

d X , π 1 = x 0 - y 0 + 4 1 2 + - 1 2 + 0 2 = x 0 - y 0 + 4 2

Para o plano π 2 :

x + y - 2 = 0         ⇒           a = 1 b = 1 c = 0 d = - 2

Então:

d X , π 2 = x 0 + y 0 - 2 1 2 + - 1 2 + 0 2 = x 0 + y 0 - 2 2

Para o plano π 3 :

z + 1 = 0           ⇒           a = 0 b = 0 c = 1 d = 1

Então:

d X , π 3 = z 0 + 1 0 2 + 0 2 + 1 1 = z 0 + 1 1

Ok, já temos todas as fórmulas das distâncias.

Passo 3

O enunciado diz que a soma dos quadrados dessas três distâncias tem que somar 20 :

d 2 X , π 1 + d 2 X , π 2 + d 2 X , π 3 = 20

x 0 - y 0 + 4 2 2 + x 0 + y 0 - 2 2 2 + z 0 + 1 1 2 = 20

Quando a gente eleva essas frações ao quadrado, o módulo passa a ser irrelevante, então:

x 0 - y 0 + 4 2 2 + x 0 + y 0 - 2 2 2 + z 0 + 1 2 1 = 20

Agora multiplicando tudo por 2 :

x 0 - y 0 + 4 2 + x 0 + y 0 - 2 2 + 2 z 0 + 1 2 = 40

E resolvendo todos esses quadrados. Começando pelo primeiro:

x 0 - y 0 + 4 2 = x 0 - y 0 + 4 x 0 - y 0 + 4

x 0 - y 0 + 4 2 = x 0 2 - x 0 y 0 + 4 x 0 - y 0 x 0 + y 0 2 - 4 y 0 + 4 x 0 - 4 y 0 + 16

x 0 - y 0 + 4 2 = x 0 2 + y 0 2 - 2 x 0 y 0 + 8 x 0 - 8 y 0 + 16

E o segundo:

x 0 + y 0 - 2 2 = x 0 + y 0 - 2 x 0 + y 0 - 2

x 0 + y 0 - 2 2 = x 0 2 + x 0 y 0 - 2 x 0 + x 0 y 0 + y 0 2 - 2 y 0 - 2 x 0 - 2 y 0 + 4

x 0 + y 0 - 2 2 = x 0 2 + y 0 2 + 2 x 0 y 0 - 4 x 0 - 4 y 0 + 4

Somando essas duas:

x 0 - y 0 + 4 2 + x 0 + y 0 - 2 2

x 0 2 + y 0 2 - 2 x 0 y 0 + 8 x 0 - 8 y 0 + 16 + x 0 2 + y 0 2 + 2 x 0 y 0 - 4 x 0 - 4 y 0 + 4

2 x 0 2 + 2 y 0 2 + 4 x 0 - 12 y 0 + 20

Então:

x 0 - y 0 + 4 2 + x 0 + y 0 - 2 2 + 2 z 0 + 1 2 = 40

2 x 0 2 + 2 y 0 2 + 4 x 0 - 12 y 0 + 2 0 + 2 z 0 + 1 2 = 40

Beleza, agora vamos olhar para o terceiro parênteses:

2 z 0 + 1 2 = 2 z 0 2 + 4 z 0 + 2

Voltando na nossa fórmula lá de cima

2 x 0 2 + 2 y 0 2 + 4 x 0 - 12 y 0 + 20 + 2 z 0 2 + 4 z 0 + 2 = 40

Dividindo tudo por 2 :

x 0 2 + y 0 2 + 2 x 0 - 6 y 0 + 10 + z 0 2 + 2 z 0 + 1 = 20

Passo 4

Ok, isso ainda está um pouco confuso. Vamos organizar melhor essa equação:

x 0 2 + y 0 2 + 2 x 0 - 6 y 0 + 10 + z 0 2 + 2 z 0 + 1 = 20

Para facilitar, vamos trocar x 0 → x , y 0 → y e z 0 → z :

x 2 + y 2 + 2 x - 6 y + 10 + z 2 + 2 z + 1 = 20

Lembrando que:

x + 1 2 = x 2 + 2 x + 1 y - 3 2 = y 2 - 6 y + 9 z + 1 2 = z 2 + 2 z + 1

Então, somando 1 + 9 + 1 = 11 dos dois lados, a gente pode escrever esses produtos notáveis:

x 2 + y 2 + 2 x - 6 y + 10 + z 2 + 2 z + 1 = 20

x 2 + 2 x + y 2 - 6 y + z 2 + 2 z + 10 + 1 + 11 = 20 + 11

x + 1 2 + y - 3 2 + z + 1 2 + 10 + 1 = 20 + 11

x + 1 2 + y - 3 2 + z + 1 2 = 20

Agora sim, dá pra determinar o centro e o raio. Lembrando que se uma esfera tem centro C = x 0 , y 0 , z 0 e raio r , a equação é:

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = r 2

Então, olhando para a nossa equação:

x + 1 2 + y - 3 2 + z + 1 2 = 20

Dá pra ver que:

C = - 1,3 , - 1

r = 20

Pronto!

Resposta

O centro da esfera é C = - 1,3 , - 1 e o raio é r = 20 .

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Em cada caso, obtenha uma equação da superfície esférica tangente aos planos π 1 e π 2 , sabendo que T é um dos pontos de tangência. π 1 : x = 0π 2 : 3 x + y + z - 2 = 0T = 0,2 , - 1 π 1 : 6 x - 3 y -
Obtenha os planos tangentes à superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 = 1 que contêm a reta interseção dos planos π 1 : x + y + z = 0 e π 2 : x - y - z - 2 = 0 .
Determine os valores máximo e mínimo atingidos pela expressão x - 2 y + z (e os pontos X m á x á e X m í n í em que ocorrem) quando X percorre a superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 = 6 .
Obtenha equações da circunferência Γ de centro G que contém os pontos A e B , nos casos: G = 1,2 , 1 , A = 2,2 , 0 , B = 1,1 , 4 G = 1,1 , 4 , A = 0,3 , 2 , B = 2,3 , 6 G = 2,1 , 1 , A = 1,0 , 2 , B =
Determine os planos tangentes à superfície esférica S : x - 1 2 + y 2 + z 2 = 6 que são perpendiculares à reta r : x - 1 2 = y = z - 1 .