Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 56
Determine os vértices de um hexágono regular inscrito na circunferência
Sabendo que um deles pertence à reta .
Passo 1
Vamos começar pela parte mais fácil, determinar o primeiro vértice do hexágono e o centro da circunferência. Ambas as informações serão fundamentais para o que há por vir!
Bom, vamos começar pelo primeiro vértice do hexágono. Ele será obtido pela interseção da reta com a circunferência . Então, se fizermos a interseção da reta com o plano , teremos a este vértice. Portanto,
Portanto, o primeiro vértice é:
Passo 2
E, para finalizar esta etapa inicial, vamos encontrar o centro da circunferência. Para isto, vamos colocar a equação da superfície esférica na sua forma reduzida para descobrirmos qual o seu centro. Logo,
Logo, o centro da superfície é . Portanto, vamos construir uma reta que passa por e é perpendicular ao plano , logo, tem vetor diretor . Então,
Para obtermos o centro da circunferência, vamos fazer a interseção de com . Portanto,
Portanto, o centro da circunferência é
Passo 3
Agora já determinarmos todas as informações necessárias para descobrir os outros vértices do hexágono. Para ficar claro o que temos que fazer, vamos fazer um simples desenho esquemático no plano. Portanto,
Não importa se o vértice que obtivemos realmente foi o da quina superior direita. O que importa é a ideia que vamos extrair do desenho acima. Devido a simetria do hexágono, o vértice é obtido pela soma do ponto com o vetor . Portanto,
Já foram dois vértices! E os outros? O que fazer? Para isto, voltamos para a figura. Temos que somar pontos com os vetores e . Em especial, já podemos escrever que:
Passo 4
Todas estas relações retiramos da figura. Só que, temos um pequeno problema? Quem são os vetores e ? Sabemos alguma coisa sobre eles?
Sim, a resposta é sim! Novamente, precisamos utilizar a geometria do hexágono. Devido a questões dos ângulos internos de um hexágono, temos:
E não só isto, os vetores e pertencem ao plano também. Portanto, são ortogonais ao vetor . E não só isso, eles têm o mesmo comprimento que (norma). Basta lembrar dos triângulos equiláteros formados no hexágono.
Sendo assim, seja um vetor genérico que queremos descobrir, temos:
Portanto, . Agora, vamos descobrir o que tem que acontecer para que forme um ângulo de 60 graus com e tenha o mesmo comprimento que . Portanto,
Portanto, . Portanto, . Para finalizarmos descobrindo o valor de , vamos verificar a questão da igualdade das normas. Portanto,
Resolvendo esta equação, obtemos e . As duas soluções são devido aos dois vetores e que satisfazem estas condições. Portanto,
Passo 5
Agora, só fazer as somas dos pontos com vetores. Relembrando as relações descritas no passo 3, temos:
Portanto,