Determine os vértices de um hexágono regular inscrito na circunferência Γ : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y + 2 z - 3 = 0 x + y + z = 1 Sabendo que um deles pertence à reta r : X = ( - 1,1 ,1 / 3 ) + λ 2 , - 1,1 .

A 1 = - 1 3 , 2 3 , 2 3 A 2 = 0,1 , 0 A 3 = 0,0 , 1 A 4 = 2 3 , 2 3 , - 1 3 A 5 = 1,0 , 0 A 6 = 2 3 , - 1 3 , 2 3

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 56

Determine os vértices de um hexágono regular inscrito na circunferência

Sabendo que um deles pertence à reta .

Passo 1

Vamos começar pela parte mais fácil, determinar o primeiro vértice do hexágono e o centro da circunferência. Ambas as informações serão fundamentais para o que há por vir!

Bom, vamos começar pelo primeiro vértice do hexágono. Ele será obtido pela interseção da reta com a circunferência . Então, se fizermos a interseção da reta com o plano , teremos a este vértice. Portanto,

Portanto, o primeiro vértice é:

Passo 2

E, para finalizar esta etapa inicial, vamos encontrar o centro da circunferência. Para isto, vamos colocar a equação da superfície esférica na sua forma reduzida para descobrirmos qual o seu centro. Logo,

Logo, o centro da superfície é . Portanto, vamos construir uma reta que passa por e é perpendicular ao plano , logo, tem vetor diretor . Então,

Para obtermos o centro da circunferência, vamos fazer a interseção de com . Portanto,

Portanto, o centro da circunferência é

Passo 3

Agora já determinarmos todas as informações necessárias para descobrir os outros vértices do hexágono. Para ficar claro o que temos que fazer, vamos fazer um simples desenho esquemático no plano. Portanto,

Não importa se o vértice que obtivemos realmente foi o da quina superior direita. O que importa é a ideia que vamos extrair do desenho acima. Devido a simetria do hexágono, o vértice é obtido pela soma do ponto com o vetor . Portanto,

Já foram dois vértices! E os outros? O que fazer? Para isto, voltamos para a figura. Temos que somar pontos com os vetores e . Em especial, já podemos escrever que:

Passo 4

Todas estas relações retiramos da figura. Só que, temos um pequeno problema? Quem são os vetores e ? Sabemos alguma coisa sobre eles?

Sim, a resposta é sim! Novamente, precisamos utilizar a geometria do hexágono. Devido a questões dos ângulos internos de um hexágono, temos:

E não só isto, os vetores e pertencem ao plano também. Portanto, são ortogonais ao vetor . E não só isso, eles têm o mesmo comprimento que (norma). Basta lembrar dos triângulos equiláteros formados no hexágono.

Sendo assim, seja um vetor genérico que queremos descobrir, temos:

Portanto, . Agora, vamos descobrir o que tem que acontecer para que forme um ângulo de 60 graus com e tenha o mesmo comprimento que . Portanto,

Portanto, . Portanto, . Para finalizarmos descobrindo o valor de , vamos verificar a questão da igualdade das normas. Portanto,

Resolvendo esta equação, obtemos e . As duas soluções são devido aos dois vetores e que satisfazem estas condições. Portanto,

Passo 5

Agora, só fazer as somas dos pontos com vetores. Relembrando as relações descritas no passo 3, temos:

Portanto,

Resposta

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Determine uma equação de cada um dos planos tangentes à superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y - 6 z + 5 = 0 nos pontos A e B da mesma, sendo A B uma corda contida na reta x - 1 - 1 = y - 2 2

Dê as equações dos planos que passam pelo eixo O x e são tangentes à superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 10 y + 16 = 0 .

Determine uma equação da superfície esférica tangente ao plano x + y + z - 1 = 0 no ponto T = 1,1 , - 1 , sabendo que o seu centro está no plano 3 x - y - z + 3 = 0 .

Determine uma equação da superfície esférica que passa pelo ponto A = ( - 1,2 , 1 ) e tangencia o plano x - y + z - 2 = 0 no ponto T = - 1 , 0 , 3 .

Ache uma equação da superfície esférica que tangencia o plano x + y + 2 z - 4 = 0 no ponto A = ( 2,0 , 1 ) e cujo centro pertence ao plano x + y + z + 1 = 0