Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 51b

Obtenha equações da circunferência circunscrita ao triângulo PQR, nos casos:

, e .

, e são os pontos de interseção do plano com os eixos coordenados.

Passo 1

Bom, queremos determinar a equação de uma circunferência circunscrita a um triângulo . Isto é, uma circunferência que contêm os três vértices do triângulo.

Então, se queremos a equação de uma circunferência, precisamos de duas coisas: a equação de um plano que contém o triângulo e a equação de uma superfície esférica cujo centro é equidistante aos 3 vértices do triângulo.

Se conseguirmos obter as duas equações, obtemos a nossa circunferência.

O legal deste caso é que nós já temos o plano ! Um trabalho a menos né? Mas.... como tudo não são flores, para compensar, não temos os pontos , e . Precisamos descobri-los primeiramente então.

Passo 2

Vamos começar descobrindo quais sãos os pontos de interseção do plano com os eixos coordenados.

Começaremos pelo eixo . Substituindo na equação do plano, temos:

Portanto, temos o ponto . Em relação a , vamos substituir . Logo,

Portanto, temos o ponto . Por fim, em relação a , vamos substituir . Logo,

Então, .

Passo 3

Agora vamos para a parte um pouco mais complicada: encontrar a superfície esférica.

Neste caso aqui, existem infinitas soluções. Basta fixar o critério de equidistância dos pontos.

Então, vamos fazer o seguinte. Vamos construir uma superfície esférica centrada no centro da circunferência que queremos obter e cujo raio é exatamente o raio da circunferência!

Ao sairmos do espaço pro plano, facilitamos as contas!

Portanto, vamos descobrir as coordenadas de um ponto que pertencem a . Portanto, satisfaz a equação do plano e temos:

Logo, o ponto tem coordenadas . Agora, vamos descobrir os valores de e que são equidistantes de , e . Portanto,

Vamos agora resolver a nossa segunda equação do sistema. Logo,

Portanto, já sabemos que o nosso ponto é

Para descobrirmos quem é , vamos substituir o valor de na primeira equação do nosso sistema. Portanto,

Portanto, o centro da circunferência será:

Passo 4

Quase acabando! Já temos o centro da superfície esférica. Só nos falta seu raio.

O raio da superfície será o raio da circunferência. Portanto, nada mais é que:

Portanto, a superfície será:

E a equação da circunferência será:

Resposta

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Ache os planos que passam pela reta t : ( x , y , z )=( 4,5 , - 2 )+m ( 1 , - 1,0 ) e que cortam sobre a superfície esférica S :( x - 1 ) 2+( y - 2 ) 2+ ( z - 1 ) 2 = 16 circunferências de raio 7 .

Dada a superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 3 x - 9= 0 e o plano x+ y + z - 1 = 0 ,determine a posição relativa da superfície e o plano;se o plano for:externo, calcule a distância do centro ao plano;

Ache o centro e o raio da circunferência x 2+y 2+ z 2- 2 x+ 4 y - 4=0 ⎨ x- 2 y+ z+ 1 = 0⎨

Sejam S 1 : x 2 + y 2 + z 2 + 6 x + 4 y + 8 z + 4= 0 e S 2 :x 2 + y 2 + z 2 + 12 x - 8 y + 4 z + 24 = 0 . Mostre que a interseção de S 1 e S 2 é uma circunferência e calcule o seu centro e raio.

Pelos pontos de interseção da reta X=( - 5 , - 11,9 )+ t ( 3,5 , - 4 ) e da superfície esférica ( x + 2 ) 2+( y - 1 ) 2 + ( z + 5 ) 2= 49 passam planos tangentes à superfície esférica. Determine uma e