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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 58

  1. Prove que o plano radical de duas superfícies esféricas não-concêntricas é o lugar geométrico dos pontos de igual potência em relação a essas superfícies (veja o Exercício 24-21).
  2. Qual é esse lugar geométrico no caso em que as superfícies são concêntricas e distintas?

Passo 1

Então galera! Para resolvermos esta questão, vamos utilizar alguns conceitos e resultados obtidos lá da questão 24-21. Esses conceitos serão sobre potência de um ponto e como calculamos em relação a uma superfície esférica.

Bom, antes de enunciarmos esta relação, vamos começar a definir as informações da nossa questão.

Temos duas superfícies esféricas S 1 : x 2 + y 2 + z 2 + a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e S 2 : x 2 + y 2 + z 2 + a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 .

Como as superfícies não são concêntricas, sabemos que os centros das superfícies C 1 = - a 1 2 , - b 1 2 , - c 1 2 e C 2 = - a 2 2 , - b 2 2 , - c 2 2 são distintos.

E como obtemos o plano radical π ? Basta subtrairmos a equação geral das duas superfícies! Fácil, né? Então, se subtrairmos S 2 de S 1 , temos:

π : x 2 + y 2 + z 2 + a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 - x 2 + y 2 + z 2 + a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0

π : a 2 - a 1 x + b 2 - b 1 y + c 2 - c 1 z + d 2 - d 1 = 0

Então, para finalizarmos as definições básicas, um ponto P = x 0 , y 0 , z 0 pertence a π se, e somente se, ele satisfaz a sua equação. Portanto,

a 2 - a 1 x 0 + b 2 - b 1 y 0 + c 2 - c 1 z 0 + d 2 - d 1 = 0

a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 + d 2 = a 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 + d 1

Então pessoal. Percebam que a relação acima é uma VERDADE!!! Sim, letras maiúsculas para ressaltar que é uma verdade! No final da letra a) vamos chegar a esta relação. Então, como sabemos que é uma verdade, teremos provado a nossa relação!

Passo 2

Agora temos todas as informações básicas para provarmos a letra a). Vamos então calcular a potência de um ponto P = x 0 , y 0 , z 0 em relação as duas superfícies.

Mas como fazemos isto? Lá do exercício 24-21, aprendemos que a potência é exatamente o primeiro membro da superfície quando substituímos as coordenadas dos pontos. Em outras palavras, nada mais é do que:

P o t ê n c i a 1 = x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 + a 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 + d 1

P o t ê n c i a 2 = x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 + a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 + d 2

A letra a) nos pede para provar que ambas as potências são iguais. Então, vamos igualar ambos os valores e verificar se o que nós obtemos é uma verdade. Portanto,

P o t ê n c i a 1 = P o t ê n c i a 2

x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 + a 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 + d 1 = x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 + a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 + d 2

a 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 + d 1 = a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 + d 2

Lembram da verdade do final do passo 1? Não é exatamente a relação acima? Então... acabamos de provar que todo ponto pertencente ao plano radical possui igual potência em relação as duas superfícies esféricas!

Passo 3

Vamos acabar a questão com a letra mais fácil!

Se nós temos duas superfícies concêntricas e de raios distintos, temos algum plano radical? A resposta é: não!

Então, não existe nenhum lugar geométrico de pontos cuja potência seja igual em relação a essas duas superfícies!

Resposta

  1. Definição provada;
  2. Não existe lugar geométrico que satisfaça a relação! É o conjunto vazio.
Ver Outros Exercícios desse livro

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Ache a superfície esférica tangente aos planos 2 x + 2 y + z - 6 = 0 e 2 x + 2 y + z + 12 = 0 , sabendo-se que P = ( 1,2 , 0 ) é um ponto da superfície esférica.
Determine uma equação da superfície esférica de centro C = ( 3 , - 2,1 ) tangente ao plano 2 x - y - 2 z - 15 = 0 . Determine também as coordenadas do ponto de tangência.
Determine os planos tangentes à superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 = 1 , que passam pela reta x - y + 2 z - 3 = 0 x + 2 z - 1 = 0
Ache a superfície esférica tangente aos planos paralelos x - 2 y + 2 z + 1 = 0 e x - 2 y + 2 z - 8 = 0 sendo ( - 3,0 , 1 ) um dos pontos de tangência.
Determine o centro e o raio da circunferência, interseção da superfície esférica x 2+y 2+ z 2- 2 x- 4 y+6 z+4=0 com o plano 2 x- y- z+3=0 .