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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 23

Prove que toda reta do plano pode ser representada por uma equação da forma ax+by=c, com a 2 + b 2 = 1 . Represente assim a reta que corta os eixos OX e OY nos pontos p , 0   e   ( 0 , q ) respectivamente.

Passo 1

Faaala, beleza? Então, para fazer essa questão a gente precisa pensar uma forma de relacionar a equação de uma reta qualquer com a equação a 2 + b 2 = 1 . Quando eu olho para essa equação me lembro da igualdade trigonométrica s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 , vamos tentar usar isso.

T o m a n d o   a = s e n θ   e   b = c o s θ

Passo 2

Agora vamos substituir esses valores na equação inicial:

a x + b y = c

x s e n θ + y c o s θ = c

Passo 3

Vamos arrumar a nossa equação:

y = c c o s θ - x s e n θ c o s θ

y = c c o s θ - x t g θ

Nós sabemos que qualquer reta pode ser escrita da forma:

y = t x + k ,   o n d e   t = tan ⁡ θ ,   o n d e   θ   é   a   i n c l i n a ç ã o   d a   r e t a

Ou seja, acabamos de mostrar o que gostaríamos, uma vez que:

y = c c o s θ - x t g θ

Pode representar qualquer equação de reta, para ficar mais claro podemos substituir o valor de c por c o s θ   ( d ) e ficará:

y = d - x t g θ

Resposta

Demonstração

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha uma equação vetorial da reta s que contém P e é perpendicular a r , nos casos:a) P = ( 2 ,6 ,1 ) , r : X = - 3 ,0 ,0 + λ( 1 ,1 ,3 ) .b) P = ( 1 ,0 ,1 ) , r contém A = ( 0 ,0 ,- 1 ) e B = ( 1 ,
Sejam r : X = 1 ,1 ,1 + λ ( 1 ,1 ,1 ) e s : X = 1 ,2 ,0 + λ ( 2 ,3 ,m ) . Verifique se existe algum valor de m tal que r e s sejam ortogonais ou perpendiculares.
Obtenha o ponto simétrico do ponto P em relação à reta r , nos casos: P = 1 ,1 ,- 1 r : x + 2 3 = y = z
Obtenha o ponto simétrico do ponto P em relação à reta r , nos casos: P = 0 ,2 ,1 r : X = 1 ,0 ,0 + λ( 0 ,1 ,- 1 )
A diagonal B C de um quadrado A B C D está contida na reta r : X = 1 ,0 ,0 + λ( 0 ,1 ,1 ) . Conhecendo A = ( 1 ,1 ,0 ) , determine os outros três vértices.