Determine expressões para as transformações lineares R π / 3 , x , R π / 3 , y e R π / 3 , z que são rotações de π / 3 em relação aos eixos x , y e z respectivamente.

Passo 1

Fala, galera!

Bom, nós já sabemos como é a rotação de R 2 → R 2 :

⎜   c o s θ                 - s e n   θ   ⎜

⎜   s e n   θ                             c o s θ     ⎜

Assim, a rotação em torno do eixo x , por exemplo, deixa a coordenada x inalterada. Assim, temos

⎜ 1                           0                                             0         ⎜

⎜ 0                 c o s θ             - s e n   θ     ⎜

⎜ 0                 s e n   θ                         c o s θ       ⎜

Para encontrar R π / 3 , x , só precisamos fazer θ = π 3 :

⎜ 1                           0                                               0       ⎜

⎜ 0                       1 / 2                 - 3 / 2   ⎜

⎜ 0                   3 / 2                             1 / 2         ⎜

Passo 2

Para obter R π / 3 , y e R π / 3 , z , seguimos exatamente o mesmo raciocínio:

R π / 3 , y =

⎜               1 / 2                         0                     3 / 2       ⎜

⎜                       0                           1                             0             ⎜

⎜   - 3 / 2                 0                       1 / 2           ⎜

R π / 3 , z =

⎜     1 / 2               - 3 / 2                 0   ⎜

⎜   3 / 2                       1 / 2                         0   ⎜

⎜           0                                     0                           1   ⎜

Resposta

Veja a resolução acima.

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