Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 3.1 - Ex. 5
Determine expressões para as transformações lineares , e que são rotações de em relação aos eixos e respectivamente.
Passo 1
Fala, galera!
Bom, nós já sabemos como é a rotação de :
Assim, a rotação em torno do eixo , por exemplo, deixa a coordenada inalterada. Assim, temos
Para encontrar , só precisamos fazer :
Passo 2
Para obter e , seguimos exatamente o mesmo raciocínio:
Resposta
Veja a resolução acima.
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Sejam r e r ′ duas retas perpendiculares, ambas contendo a origem 0 = (0, 0). Sejam S :R 2→R 2 e S′:R 2→R 2 as transformações lineares que consistem nas reflexões em torno de r e r ′ respectivamente.
Seja T:R 2→R 2 a transformação linear dada por T( x ,y )=( a x + b y ,c x + d y ) . A equação λ 2-( a+d ) λ+( a d-b c )=0 chama-se a equação característica da transformação T. As raízes desta equação
Sabemos que T:R 2→R 2 , definida por T( x ,y )=( a x+b y ,c x+d y ) , tem posto 1 quando a, b, c, d não são todos iguais a zero e existe algum k ∈ R tal que b = ka e d = kc, ou seja, quando sua matriz
Prove que uma transformação linear é injetiva se, e somente se, seu núcleo se reduz ao único elemento 0 ∈ R 3
Prove que, para toda transformação linear M : R 3 →R 3 , a transformação M * M é auto adjunta e que o núcleo de M * M coincide com o núcleo de M . Em particular, se M é invertível, o mesmo ocorre M *