Seja. A = cos θ - sen θ sen θ cos θ (a) Mostre que A 2 = cos 2 θ - sen 2 θ sen 2 θ cos 2 θ , A 3 = cos 3 θ - sen 3 θ sen 3 θ cos 3 θ (b) Usando sua resposta na parte ( a ) , adivinhe o formato da matriz A n , com n um inteiro positivo qualquer. (c) Considerando o efeito geométrico da multiplicação por A , obtenha geometricamente o resultado da parte ( b ) . Passo 1 Vamos lá! Vamos fazer o produto entre as matrizes de rotação, assim temos: A 2 = cos θ - sen θ sen θ cos θ ⋅ cos θ - sen θ sen θ cos θ A 2 = cos 2 θ - sen 2 θ - 2 cos θ ⋅ sen θ 2 cos θ ⋅ sen θ cos 2 θ - sen 2 θ = cos 2 θ - sen 2 θ sen 2 θ cos 2 θ O cubo da nossa matriz será: A 3 = cos θ - sen θ sen θ cos θ ⋅ cos 2 θ - sen 2 θ - 2 cos θ ⋅ sen θ 2 cos θ ⋅ sen θ cos 2 θ - sen 2 θ A 3 = cos θ - sen θ sen θ cos θ ⋅ cos 2 θ - sen 2 θ sen 2 θ cos 2 θ = cos 3 θ - sen 3 θ sen 3 θ cos 3 θ Passo 2 Vamos lá pessoal! Sendo A , dada por: A = cos θ - sen θ sen θ cos θ A n = cos ( n - 1 ) θ - sen ( n - 1 ) θ sen ( n - 1 ) θ cos ( n - 1 ) θ ⋅ cos θ - sen θ sen θ cos θ = cos n θ - sen n θ sen n θ cos n θ Passo 3 cos θ - sen θ sen θ cos θ Sendo θ o ângulo de rotação do vetor: p a r a r o t a ç õ e s n o s e n t i d o h o r á r i o o v a l o r d e θ é n e g a t i v o p a r a r o t a ç õ e s n o s e n t i d o a n t i - h o r á r i o o v a l o r d e θ é p o s i t i v o ç õ á é ç õ á é Assim: cos n θ - sen n θ sen n θ cos n θ É uma rotação pelo ângulo n ⋅ θ , tendo que: n ∈ N RespostaEi, a resposta está no passo a passo :)MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosConsidere o plano π : x + 2 y + 3 z = 0 . Encontre expressões para as seguintes transformações lineares:a) a projeção ortogonal no plano π , p π :R 3 → R 3 .b) a reflexão em relação ao plano π , R π :Determine expressões para as transformações lineares R θ , x ,R θ , y ,R θ , z :R 3 → R 3 , que são rotações de θ em relação aos eixos x, y e z, respectivamente.Considere o plano π : a x + b y + c z = 0 . Encontre expressões para as seguintes transformações lineares:(a) A projeção ortogonal no plano π , p π :R 3 → R 3 .(b) A reflexão em relação ao plano π , RConsidere a reta r : x , y , z = t ( a , b , c ) . Encontre expressões para as seguintes transformações lineares: a) A projeção ortogonal na reta r , p r : R 3 → R 3 . b) A reflexão em relação à reta Considere a reta r : x , y , z = t 1,1 , 1 . a) seja p r :R 3 → R 3 a projeção ortogonal na reta r . Encontre uma expressão para p r x , y , z . b) seja R r : R 3 → R 3 a reflexão em relação à reta r Ver TambémVer Livro Anton - Álgebra LinearVer tudo sobre Espaços Vetoriais e Transformações LinearesLista de exercícios de Transformação LinearVer exercício 8.Exercícios Suplementares - 3Ver exercício 8.Exercícios Suplementares - 18