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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.Exercícios Suplementares - Ex. 2

Seja.

A = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

(a) Mostre que A 2 = cos ⁡ 2 θ - sen ⁡ 2 θ sen ⁡ 2 θ cos ⁡ 2 θ , A 3 = cos ⁡ 3 θ - sen ⁡ 3 θ sen ⁡ 3 θ cos ⁡ 3 θ

(b) Usando sua resposta na parte ( a ) , adivinhe o formato da matriz A n , com n um inteiro positivo qualquer.

(c) Considerando o efeito geométrico da multiplicação por A , obtenha geometricamente o resultado da parte ( b ) .

Passo 1

  1. Vamos lá! Vamos fazer o produto entre as matrizes de rotação, assim temos:

    A 2 = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

    A 2 = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ - 2  cos θ ⋅ sen ⁡ θ 2  cos θ ⋅ sen ⁡ θ cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ = cos ⁡ 2 θ - sen ⁡ 2 θ sen ⁡ 2 θ cos ⁡ 2 θ

    O cubo da nossa matriz será:

    A 3 = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ ⋅ cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ - 2  cos θ ⋅ sen ⁡ θ 2  cos θ ⋅ sen ⁡ θ cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

    A 3 = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ 2 θ - sen ⁡ 2 θ sen ⁡ 2 θ cos ⁡ 2 θ = cos ⁡ 3 θ - sen ⁡ 3 θ sen ⁡ 3 θ cos ⁡ 3 θ

    Passo 2

  2. Vamos lá pessoal! Sendo A , dada por:

    A = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

    A n = cos ⁡ ( n - 1 ) θ - sen ⁡ ( n - 1 ) θ sen ⁡ ( n - 1 ) θ cos ⁡ ( n - 1 ) θ ⋅ cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ = cos ⁡ n θ - sen ⁡ n θ sen ⁡ n θ cos ⁡ n θ

    Passo 3

cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Sendo θ o ângulo de rotação do vetor:

p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   n e g a t i v o           p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   a n t i - h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   p o s i t i v o

Assim:

cos ⁡ n θ - sen ⁡ n θ sen ⁡ n θ cos ⁡ n θ

É uma rotação pelo ângulo n ⋅ θ , tendo que: n ∈ N

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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