Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 133

Os pontos A e B são, respectivamente, extremidades do eixo transverso e do eixo conjugado de uma hipérbole de centro O , e F é um dos focos. C é um ponto da hipérbole tal que C F é perpendicular ao eixo transverso e O C → = k A B → .

  1. Exprima k em função da excentricidade da hipérbole.
  2. Mostre que O C e A B não são paralelos.

Passo 1

  1. Temos o seguinte esquema

    2. Temos que a abcissa de C vale c (onde 2 c é a distância focal). Logo,

    c 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 ∴ y 2 b 2 = e 2 - 1 ⟹ y = b e 2 - 1

    Portanto, C = c ,   b e 2 - 1 .

    Passo 2

    Temos:

    O C → = x C 2 + y C 2 = c 2 + b 2 e 2 - 1 = c 2 + c 2 - a 2 e 2 - 1

    O C → = c 1 + 1 - a 2 c 2 e 2 - 1 = c 1 + 1 - 1 e 2 e 2 - 1 = c e e 2 + e 2 - 1 2

    O C → = c e e 4 - e 2 + 1

    Também,

    A B → = a 2 + b 2 = a 2 + c 2 - a 2 = c

    Portanto,

    k = O C → A B → = e 4 - e 2 + 1 e

    Passo 3

  2. Se O C → e A B → fossem paralelos, existiria k (com o valor calculado no item (a)) tal que

O C → = k ⋅ B A → ⟹ C - O = k ⋅ A - B ∴ c ,   b e 2 - 1 = k ⋅ a , 0 - 0 , - b

c ,   b e 2 - 1 = k ⋅ a , b

Assim, teríamos:

b e 2 - 1 = k ⋅ b ⟹ k = e 2 - 1 ∴ e 4 - e 2 + 1 e = e 2 - 1

e 4 - e 2 + 1 = e 2 - 1 e 2 ∴ e 4 - e 2 + 1 = e 4 - e 2 ⟹ 1 = 0

o que é impossível!! Assim, O C e A B não são paralelos.

Resposta

  1. e 4 - e 2 + 1 / e
  2. Demonstração.
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas 38 a 43, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico. x 2 - 4 y 2 + 6 x
Em cada um dos problemas de 14 a 37, determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.Centro C ( - 2,1 ) , eixo real paralelo a O x e passando por ( 0,2 ) e ( -
Em cada um dos problemas 38 a 43, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico. 25 x 2 - 44 y 2 +
Em cada um dos problemas 38 a 43, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico. 4 x 2 - y 2 - 32 x
Em cada um dos problemas 38 a 43, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico. 9 x 2 - 4 y 2 - 54