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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 2

Determine α e β de modo que a reta   y   =   α x   +   β   seja tangente á parábola y   =   x   ² -   2 x   +   5 no ponto ( - 1 ,   8 ) .

Passo 1

Olá galera! tudo bem?

Bora junto resolver mais um problema!

Preparado?

Vamos começar então!

Temos que encontrar α e β de modo que a reta   y   =   α x   +   β é tangente a parábola no ponto ( - 1,8 )

Vamos começar considerando que a família de retas que passam pelo ponto ( - 1,8 ) será dada através do coeficiente angular como:

Y   –   8   =   m   (   x + 1 )

Y   =   m x + m + 8

Como queremos uma reta tangente, então existe apenas um ponto de interseção, logo:

m x + m + 8     =   x 2 -   2 x   +   5

-   x 2 + 2 x + m x + m + 8   - 5 =   0  

Colocando o   x em evidencia:

-   x 2 + x   2 + m + m + 3 =   0  

Passo 2

Como queremos apenas 1 ponto ou apenas uma solução, sabemos que para isso ocorrer em uma equação da parábola ∆ = 0

Então dada a equação -   x 2 + x   2 + m + m + 3 =   0  

Temos que calcular o ∆

∆ = b 2 - 4 a c  

∆ =   2 +   m 2 - 4 - 1 .   ( m + 3 )  

∆ = m 2 + 4 m + 4 + 4 m + 12  

∆ = m 2 + 8 m + 16  

0 = m 2 + 8 m + 16

Até aí tranquilo?

Vamos resolver essa equação agora!

m = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

m = - ( 8 ) ± ( 8 ) 2 - 4   . 1.16 2 . 1  

m = - ( 8 ) ± 64   - 64   2 . 1  

m = - 8 ± 0 2 . 1  

m = - 4  

Escrevendo a equação teremos:

Y   =   m x + m + 8

Y   =   - 4 x - 4 + 8

Y   =   - 4 x + 4

Logo α   =   - 4   e   β =   4  

Prontinho, acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

α   =   - 4   e   β =   4

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