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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 61

Estude a posição relativa e descreva a interseção das superfícies esféricas

S 1 : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 2 y - 2 z + 2 = 0

S 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y + 2 z - 4 = 0

Passo 1

Inicialmente, vamos determinar o centro e o raio de cada esfera.

  1. Para a esfera S 1 :

    2. x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 2 y - 2 z + 2 = 0 ⟺

    x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 2 y + 1 + z 2 - 2 z + 1 = - 2 + 1 + 1 + 1 ⟺

    x - 1 2 + y - 1 2 + z - 1 2 = 1

    Assim, temos o centro C 1 = 1 ,   1 ,   1 e R 1 = 1 .

  2. Para a esfera S 2 :

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y + 2 z - 4 = 0 ⟺

x + 2 x + 1 + y 2 + 2 y + 1 + z 2 + 2 y + 1 = 4 + 1 + 1 + 1 ⟺

x + 1 2 + y + 1 2 + z + 1 2 = 7 2

Logo, temos C 2 = - 1 ,   - 1 ,   - 1 e R 2 = 7

Passo 2

Agora, vamos determinar a distância entre C 1 e C 2 :

d C 1 ,   C 2 = - 1 - 1 2 + - 1 - 1 2 + - 1 - 1 2 = 2 2 + 2 2 + 2 2

d C 1 , C 2 = 2 3

Passo 3

Como

R 1 + R 2 = 1 + 7 > 2 3 = d C 1 ,   C 2

∴ R 1 + R 2 > d C 1 ,   C 2

E

R 2 - R 1 = 7 - 1 < 2 3 = d C 1 ,   C 2

∴ R 2 - R 1 < d C 1 , C 2

Assim, segue que

R 2 - R 1 < d C 1 ,   C 2 < R 1 + R 2

o que demonstra que as esferas são secantes.

Passo 4

A intersecção será obtida subtraindo uma equação da outra:

4 x + 4 y + 4 z = 6 ⟹ 2 x + 2 y + 2 z - 3 = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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