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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 30

Prove que, se uma superfície esférica de centro C = ( m , n , p ) e raio ρ é tangente aos três planos coordenados, então m = n = p = ρ

Passo 1

A superfície da esfera tem uma equação igual a:

x - m 2 + x - n 2 + z - p 2 = ρ 2

E para ela ser tangente ao plano x y , então ela deve ser tangente ao plano k z = 0 , onde o vetor C T → será igual a:

C T → = ( 0,0 , k )

Considerando o ponto de tangência não tocando tendo z nulo e igual a T = ( a , b , 0 ) , logo:

C T → = T - C

0,0 , k = a , b , 0 - ( m , n , p )

Então:

a = m

b = n

p = - k

Agora se aplicarmos o ponto de tangência ( m , n , 0 ) na equação da esfera nós veremos que:

m - m 2 + n - n 2 + 0 - p 2 = ρ 2

p = ρ

Passo 2

Agora para a esfera ser tangente ao plano x z , então ela deve ser tangente ao plano k y = 0 , onde o vetor C T → será igual a:

C T → = ( 0 , k , 0 )

Considerando o ponto de tangência não tocando tendo y nulo e igual a T = ( a , 0 , b ) , logo:

C T → = T - C

0 , k , 0 = a , 0 , b - ( m , n , p )

Então:

a = m

b = p

n = - k

Agora se aplicarmos o ponto de tangência T = a , 0 , b = ( m , 0 , p ) na equação da esfera nós veremos que:

m - m 2 + 0 - n 2 + p - p 2 = ρ 2

n = ρ

Passo 3

Agora para a esfera ser tangente ao plano y z , então ela deve ser tangente ao plano k x = 0 , onde o vetor C T → será igual a:

C T → = ( k , 0 , 0 )

Considerando o ponto de tangência não tocando tendo x nulo e igual a T = ( 0 , a , b ) , logo:

C T → = T - C

k , 0 , 0 = 0 , a , b - ( m , n , p )

Então:

- k = m

a = n

b = p

Agora se aplicarmos o ponto de tangência T = 0 , a , b = ( 0 , n , p ) na equação da esfera nós veremos que:

0 - m 2 + n - n 2 + p - p 2 = ρ 2

m = ρ

Juntando todas as respostas teremos que:

m = n = p = | ρ |

Portanto uma equação como x - 4 2 + y - 4 2 + z - 4 2 = 16 , faz tangência com os três planos ordenados.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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