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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 62

Determine as retas tangentes á elipse E que são paralelas à reta s .

a   E : 4 x 2 + 2 y 2 = 1 ,     s : y = 2 x

b   E : x 2 p + y 2 q = 1 ,     s : y = m x

Passo 1

Desejamos encontrar as equações das retas tangentes à elipse dada e que sejam paralelas à reta s . O ponto de tangência T = h , k não é conhecido vamos, então, determina-lo. Podemos escrever uma equação da reta tangente à elipse em T como sendo

4 h x + 2 k y = 1   i

Uma condição para que essa reta seja paralela a s é que os coeficientes de x   e   y nas duas equações sejam proporcionais, isto é,

4 h - 2 = 2 k 1 → k = - h   i i

Além disso, como T pertence à elipse, vale a igualdade

4 h 2 + 2 k 2 = 1   i i i

Resolvendo o sistema formado por i i   e   i i i vamos ter

4 h 2 + 2 h 2 = 1 → 6 h 2 = 1 → h 2 = 1 6 → h = ± 1 6 = k

Portanto, nossas retas serão dadas substituindo os valores de k   e   h em i então

± 4 6 ⋅ x ± 2 6 ⋅ y = 1 → 4 x - 2 y = ± 6

Passo 2

Procedendo da mesma forma que no passo anterior vamos ter

h x p + k y q = 1         i

Uma condição para que essa reta seja paralela a s é que os coeficientes de x   e   y nas duas equações sejam proporcionais, isto é,

h p - m = k q 1 → k = - h q p m         i i

Além disso, como T pertence à elipse, vale a igualdade

h 2 p + k 2 q = 1           i i i

Resolvendo o sistema formado por i i   e   i i i vamos ter

h 2 = p m m + q → h = ± p m m + q

Sendo assim, nosso valor de k será

k = ∓ q p m ⋅ p m m + q

Portanto, nossas retas serão dadas substituindo os valores de k   e   h em i então

h x p + k y q = 1     → x p ⋅ ± p m m + q + y q ⋅ ∓ q p m ⋅ p m m + q = 1

Resposta

a 4 x - 2 y = ± 6

b x p ⋅ ± p m m + q + y q ⋅ ∓ q p m ⋅ p m m + q = 1

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