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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 54

Dizemos que uma matriz A é idempotente se A 2 = A .

  1. Mostre que se A   for idempotente, então I - A também é.
  2. Mostre que se A for idempotente, então 2 A - I é invertível e sua própria inversa.

Passo 1

Na letra (a), pra garantirmos que I - A também é idempotente, precisamos mostrar que I - A 2 = ( I - A ) .

I - A 2 = I - A ⇒ I - A I - A = I - A ⇒

⇒ I × I - I × A - I × A + A × A = I 2 - A - A + A 2 = I 2 - 2 A + A 2 ⇒

Mas como já sabemos que A é idempotente, então A 2 = A e

I 2 - 2 A + A 2 ⏝ A = I - 2 A + A = I - A

Logo I - A é idempotente e I - A 2 = I - A .

Passo 2

Na letra (b), para mostrarmos que 2 A - I é invertível e sua própria inversa, então precisamos demonstrar que 2 A - I 2 A - I = I .

2 A - I 2 A - I = 2 A 2 - 2 A - 2 A + I ⇒

⇒ 4 A 2 ⏝ A - 4 A + I ⇒ 4 A - 4 A + I = I

Logo 2 A - I é invertível e 2 A - I - 1 = ( 2 A - I ) .

Resposta

  1. Demonstração
  2. Demonstração
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2.1.3 Encontre todos os valores de a, para os quais a matriz A = 1 1 0 1 0 0 1 2 a tem inversa.
2.1.4 Se A - 1 = 3 2 1 3 e B - 1 = 2 5 3 - 2 , encontre A B - 1 ⋅
2.1.2 Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes:(b) 1 2 2 1 3 1 1 3 2
2.1.5 Resolva o sistema A X = B , se A - 1 = 2 3 4 1 e B = 5 3
2.1.2 Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes:(c) 1 1 1 1 1 2 - 1 2 1 - 1 2 1 1 3 3 2