Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.3 - Ex. 29a
Dizemos que uma matriz é uma raiz quadrada de uma matriz se .
- Encontre duas raízes quadradas de .
Passo 1
Quando um problema é enunciado com uma definição, a primeira coisa a se fazer é montar a equação que está definida para desenvolvê-la e ver onde podemos chegar.
Adotando vamos abrir o produto .
Passo 2
Agora, vamos montar a equação matricial para essa matriz e igualar à matriz conforme a definição do enunciado:
Depois, vamo igualar cada equação da matriz com os elementos respectivos da matriz de coeficientes independentes
Passo 3
As equações e possuem o termo em comum. Se subtrairmos uma equação da outra, temos:
As equações e possuem em comum. Vamos isolar essa soma para que possamos realizar uma substituição.
Passo 4
Nesse passo, devemos ter muita cautela. Primeiro, vamos analisar .
Se isolarmos , temos e observamos que . Portanto, quando resolvemos , vemos que as opções são
Depois, vamos substituir o valor de na equação e em
Passo 5
Agora, vamos substituir o valor de em
Vamos multiplicar a equação toda por
Passo 6
Vamos resolver a equação biquadrática trocando a variável
Retornando para , temos
Passo 7
Por último, vamos substituir nos valores de e .
- Para :
- Para
Resposta
As raízes são as matrizes e .