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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 10b

A elipse E tem centro O, focos em um dos eixos coordenados, e contém os pontos A e B. Em cada caso, escreva uma equação reduzida de E e determine os focos.

  1. A = 3,2 , B = 1,4 .
  2. A = 5,2 , B = 2,4 .
  3. A = - 4 , - 6 , B = 2,3 .

Passo 1

Já começamos sabendo que a nossa elipse tem centro em O . Isto é muito importante pois com esta informação, sabemos que ela não está transladada! Então, a sua equação reduzida pode ser:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Bom, o trabalho desta questão está em descobrir estes valores a e b para poder escrever a sua equação reduzida e depois escrevermos as coordenadas dos focos.

A ideia é substituirmos as coordenadas dos pontos A e B e montarmos um sistema de equação. Ao resolvermos este sistema, teremos os valores de a e b da nossa elipse.

Passo 2

Vamos agora as contas. Portanto, os pontos A = 5 , 2 , B = 2 , 4 pertencem a nossa elipse. Logo, nossa primeira equação será:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

5 2 a 2 + 2 2 b 2 = 1

25 a 2 + 4 b 2 = 1

25 b 2 + 4 a 2 a 2 b 2 = 1

a 2 b 2 = 25 b 2 + 4 a 2

E vamos parar por aqui. Agora, vamos substituir as coordenadas de B . Portanto,

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

2 2 a 2 + 4 2 b 2 = 1

4 a 2 + 16 b 2 = 1

4 b 2 + 1 6 a 2 a 2 b 2 = 1

a 2 b 2 = 4 b 2 + 16 a 2

Agora, vamos igualar as duas expressões a 2 b 2 obtidas. Com isto, temos:

4 b 2 + 16 a 2 = 25 b 2 + 4 a 2

21 b 2 = 12 a 2

b 2 = 4 a 2 7

Agora, vamos substituir esta relação em qualquer uma das que obtivemos antes para descobrirmos o valor de a . Portanto,

a 2 b 2 = 4 b 2 + 16 a 2

a 2 ⋅ 4 a 2 7 = 4 ⋅ 4 a 2 7 + 16 a 2

4 a 4 7 = 16 a 2 + 11 2 a 2 7 = 128 a 2 7

4 a 4 = 128 a 2

a 2 = 32

a = 4 2

Lembrem-se que os parâmetros geométricos são sempre positivos! Se substituirmos o valor de a na relação de b , vamos obter o seguinte valor:

b 2 = 4 a 2 7 = 4 ⋅ 32 7 = 128 7

b = 8 14 7

E portanto, a equação reduzida da nossa elipse é:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

x 2 4 2 2 + y 2 8 14 7 2 = 1

x 2 32 + y 2 128 7 = 1

Passo 3

Agora, só nos resta calcularmos os focos. Como o maior denominador é o denominador do x , pois:

32 > 128 7

Então, os focos estão no eixo O x e são dados por F = ± c , 0 , sendo c = a 2 - b 2 . Portanto, o valor de c será:

c = a 2 - b 2 = 32 - 128 7 = 96 7 = 4 42 7

E portanto, os focos são:

F = ± 4 42 7 , 0

Resposta

Equação reduzida da elipse:

x 2 32 + y 2 128 7 = 1

Focos:

F = ± 4 42 7 , 0

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