Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 8c
Em cada caso, determine os vértices, os focos, e as medidas dos eixos maior e menor da elipse.
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Passo 1
Para podermos determinar os parâmetros como vértices, focos, e os comprimentos de eixo maior e menor, precisamos fazer um primeiro passo: colocar a equação da nossa elipse na sua forma reduzida. Isto é:
Vamos isolar as variáveis e em um dos membros e no outro membro vamos deixar igual a 1. Somente após este passo podemos continuar a questão.
Portanto, temos:
Passo 2
Agora que colocamos a elipse na forma reduzida, podemos continuar a análise. Como o maior denominador está com a variável , os focos estão no eixo e são dados por , sendo .
Mas quem são esses e ? Inclusive, são eles que definem as coordenadas dos vértices e . E não só isso! O eixo maior tem comprimento e o eixo menor !
Eita, tudo depende desses dois parâmetros então! Mas da onde obtemos eles?
Simples, basta olhar os denominadores da nossa elipse na forma de equação reduzida. O maior denominador é e o menor denominador ! Portanto,
Portanto,
Obs: é importante lembrarmos que os parâmetros geométricos são sempre números positivos por definição!
Agora, é só substituirmos nas relações já discutidas. Os vértices são:
Os focos são:
E o eixo maior tem comprimento e o eixo menor comprimento .
Resposta
Equação reduzida da elipse:
Os vértices são:
Os focos são:
E o eixo maior tem comprimento e o eixo menor comprimento .