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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Elipse - Ex. 48

Encontrar uma equação da elipse de centro 0 ,   0 , eixo maior sobre O x , excentricidade 1 2 e que passa pelo ponto 2 ,   3 .

Passo 1

Então galera, de acordo com o enunciado a nossa elipse tem centro em 0 ,   0 , possui o eixo maior sobre o eixo x , tem excentricidade de 1 2 e passa por um ponto dado. Como o eixo maior está em x , então a equação da elipse terá o seguinte formato:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Portanto o nosso objetivo é encontrar a e b , tudo bem? Show!

Passo 2

De acordo com o que estudamos na seção em questão, a excentricidade da elipse é dada pela seguinte razão:

e = c a

E como e = 1 2 , então:

c a = 1 2

c = a 2

Utilizando o Teorema de Pitágoras, teremos:

a 2 = b 2 + c 2

Substituindo c = a 2 :

a 2 = b 2 + a 2 4

b 2 = 3 a 2 4

Substituindo os valores na equação da elipse, teremos:

x 2 a 2 + 4 y 2 3 a 2 = 1

Show!

Passo 3

Para o ponto P 2 ,   3 , temos que:

2 2 a 2 + 4 . 3 2 3 a 2 = 1

4 a 2 + 12 a 2 = 1

16 a 2 = 1

∴ a = 4

Agora que encontramos a , para encontrarmos b é bem tranquilão, pois basta utilizarmos a relação que encontramos, se liga:

b 2 = 3 a 2 4

Para a = 4 , temos que:

b 2 = 3.16 4 = 12

∴ b = 12

Agora que encontramos a e b , podemos escrever a expressão da elipse que queríamos. Substituindo, temos que a equação será:

x 2 16 + y 2 12 = 1

E essa é a nossa resposta! 😉

Resposta

x 2 16 + y 2 12 = 1

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