Encontre uma base do espaço vetorial de todas as matrizes 3 × 3 antissimétricas.

Passo 1

Vamos provar que, dada:

B = 0 1 0 - 1 0 0 0 0 0   ,   0 0 1 0 0 0 - 1 0 0 ,   0 0 0 0 0 1 0 - 1 0

Então, B é uma base do espaço vetorial de todas as matrizes 3 × 3 antissimétricas.

Vamos mostrar que B   é LI.

Dados a ,   b ,   c ϵ R :

a × 0 1 0 - 1 0 0 0 0 0 + b × 0 0 1 0 0 0 - 1 0 0 + c × 0 0 0 0 0 1 0 - 1 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0

  ⟺ 0 a b - a 0 c - b - c 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0

  ⟺ a = b = c = 0 .

Passo 2

De fato B gera o espaço, pois resulta numa matriz 0 a b - a 0 c - b - c 0 ,   e:

0 a b - a 0 c - b - c 0 T = - 0 a b - a 0 c - b - c 0 .

Resposta

B = 0 1 0 - 1 0 0 0 0 0   ,   0 0 1 0 0 0 - 1 0 0 ,   0 0 0 0 0 1 0 - 1 0 .

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