Encontre uma base do espaço vetorial de todas as matrizes 3 × 3 simétricas.

Passo 1

Vamos encontrar uma base do espaço vetorial de todas as matrizes 3 × 3 simétricas.

Assim, podemos definir a seguinte base:

B = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ,   0 1 0 1 0 0 0 0 0 ,   0 0 1 0 0 0 1 0 0 ,   0 0 0 0 1 0 0 0 0 ,   0 0 0 0 0 1 0 1 0 ,   0 0 0 0 0 0 0 0 1  

Uma vez que todas as matrizes desta base são simétricas, pois a transposta é igual à própria matriz.

Passo 2

Vamos provar, então, que:

B = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ,   0 1 0 1 0 0 0 0 0 ,   0 0 1 0 0 0 1 0 0 ,   0 0 0 0 1 0 0 0 0 ,   0 0 0 0 0 1 0 1 0 ,   0 0 0 0 0 0 0 0 1  

É uma base.

Vamos mostrar inicialmente que B é LI;

Dados a ,   b ,   c ,   d ,   e ,   f ∈ R :

a × 1 0 0 0 0 0 0 0 0 + b ×   0 1 0 1 0 0 0 0 0 + c ×   0 0 1 0 0 0 1 0 0

+ d ×   0 0 0 0 1 0 0 0 0 + e × 0 0 0 0 0 1 0 1 0 + f ×   0 0 0 0 0 0 0 0 1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Se, e só se:

a 0 0 0 0 0 0 0 0 +   0 b 0 b 0 0 0 0 0 + 0 0 c 0 0 0 c 0 0 + 0 0 0 0 d 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 e 0 e 0 +   0 0 0 0 0 0 0 0 f = 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Ou seja,

a b c b d e c e f = 0 0 0 0 0 0 0 0 0

O que implica em a = b = c = d = e = f = 0 . Ou seja, B é LI.

Passo 3

Agora vamos mostrar que B gera o espaço vetorial de todas as matrizes 3 × 3 simétricas.

De fato, pois geram matrizes da forma a b c b d e c e f , sendo que:

a b c b d e c e f T = a b c b d e c e f .

Ou seja, B geram matrizes simétricas.

Resposta

B = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ,   0 1 0 1 0 0 0 0 0 ,   0 0 1 0 0 0 1 0 0 ,   0 0 0 0 1 0 0 0 0 ,   0 0 0 0 0 1 0 1 0 ,   0 0 0 0 0 0 0 0 1   .

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