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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.Exercícios Suplementares - Ex. 13a

Encontre uma base do espaço vetorial de todas as matrizes 3 × 3 simétricas.

Passo 1

Vamos encontrar uma base do espaço vetorial de todas as matrizes 3 × 3 simétricas.

Assim, podemos definir a seguinte base:

B = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ,   0 1 0 1 0 0 0 0 0 ,   0 0 1 0 0 0 1 0 0 ,   0 0 0 0 1 0 0 0 0 ,   0 0 0 0 0 1 0 1 0 ,   0 0 0 0 0 0 0 0 1  

Uma vez que todas as matrizes desta base são simétricas, pois a transposta é igual à própria matriz.

Passo 2

Vamos provar, então, que:

B = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ,   0 1 0 1 0 0 0 0 0 ,   0 0 1 0 0 0 1 0 0 ,   0 0 0 0 1 0 0 0 0 ,   0 0 0 0 0 1 0 1 0 ,   0 0 0 0 0 0 0 0 1  

É uma base.

Vamos mostrar inicialmente que B é LI;

Dados a ,   b ,   c ,   d ,   e ,   f ∈ R :

a × 1 0 0 0 0 0 0 0 0 + b ×   0 1 0 1 0 0 0 0 0 + c ×   0 0 1 0 0 0 1 0 0

+ d ×   0 0 0 0 1 0 0 0 0 + e × 0 0 0 0 0 1 0 1 0 + f ×   0 0 0 0 0 0 0 0 1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Se, e só se:

a 0 0 0 0 0 0 0 0 +   0 b 0 b 0 0 0 0 0 + 0 0 c 0 0 0 c 0 0 + 0 0 0 0 d 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 e 0 e 0 +   0 0 0 0 0 0 0 0 f = 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Ou seja,

a b c b d e c e f = 0 0 0 0 0 0 0 0 0

O que implica em a = b = c = d = e = f = 0 . Ou seja, B é LI.

Passo 3

Agora vamos mostrar que B gera o espaço vetorial de todas as matrizes 3 × 3 simétricas.

De fato, pois geram matrizes da forma a b c b d e c e f , sendo que:

a b c b d e c e f T = a b c b d e c e f .

Ou seja, B geram matrizes simétricas.

Resposta

B = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ,   0 1 0 1 0 0 0 0 0 ,   0 0 1 0 0 0 1 0 0 ,   0 0 0 0 1 0 0 0 0 ,   0 0 0 0 0 1 0 1 0 ,   0 0 0 0 0 0 0 0 1   .

Ver Outros Exercícios desse livro

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Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços abaixo: a) Das matrizes n × n que tem a primeira linha igual a última linha. b) Das funções que possuem a segunda derivada identicamente nula.
Seja S = p 0 ,p 1 , … , p n um conjunto de polinômios tais que o grau de p k é igual a k, para k=0 , . . . , n . Mostre que S é uma base para o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a n.
Mostre que t ,t 3 ,t 5 , … , t 2 n + 1 é uma base para o subespaço dos polinômios que satisfazem p - t = - p ( t ) , para todo t ∈ R .
Dados V 1 = ( - 3,5 , 2,1 ) e V 2 = ( 1 , - 2 , - 1,2 ) : b ) Sejam V 3 e V 4 vetores do R 4 . Quais condições sobre V 3 e V 4 para que { V 1 ,V 2 , V 3 , V 4 } seja uma base de R 4 ?
Seja V = { ( 3 a + 4 b - 4 c ) , 2 a - 4 b - 6 c , - 2 a - 4 b + 2 c ) |a , b , c∈ R } um subespaço de R 3 .a) Determine um conjunto de geradores para V .