Encontre uma base do espaço vetorial de todas as matrizes simétricas.
Passo 1
Vamos encontrar uma base do espaço vetorial de todas as matrizes simétricas.
Assim, podemos definir a seguinte base:
Uma vez que todas as matrizes desta base são simétricas, pois a transposta é igual à própria matriz.
Passo 2
Vamos provar, então, que:
É uma base.
Vamos mostrar inicialmente que é LI;
Dados
Se, e só se:
Ou seja,
O que implica em Ou seja, é LI.
Passo 3
Agora vamos mostrar que gera o espaço vetorial de todas as matrizes simétricas.
De fato, pois geram matrizes da forma , sendo que:
Ou seja, geram matrizes simétricas.