Mostre que t ,   t 3 ,   t 5 , … , t 2 n + 1 é uma base para o subespaço dos polinômios que satisfazem p - t = - p ( t ) , para todo t ∈ R .

Passo 1

E aí galerinha!! Beleza? Aqui temos uma questão bem bacana de Álgebra Linear, vamos lá?Vamos separar as condições, para a nossa resolução ficar mais fácil, chamaremos esse conjunto de “S”, apenas para nomear mesmo, não é nenhuma obrigatoriedade, você pode chamar da letra que quiser! S =   t ,   t 3 ,   t 5 , … , t 2 n + 1

p - t = - p ( t ) , para todo t ∈ R .

Passo 2

A primeira coisa que faremos, é construir um polinômio genérico com os elementos do conjunto em que chamamos de “S”, ele fica assim: p =   a 1 ∙ t + a 3 ∙ t 3 + a 5 ∙ t 5 + … + a n ∙ t 2 n + 1

p =   a 1 t + a 3 t 3 + a 5 t 5 + … + a n t 2 n + 1

Passo 3

Agora, iremos realizar a soma dos termos ímpares, sabendo que: todo polinômio com expoente ímpar cumpre com p - x = - p ( x ) , ficando assim:

p =   a t + b t 3 + c t 5 + … + a n t 2 n + 1

Passo 4

Por fim realizaremos a substituição do polinômio “p” por p - t , resultando em: p =   a t + b t 3 + c t 5 + … + a n t 2 n + 1 p - t =   - a t - b t 3 - c t 5 - … - a n t 2 n + 1

Portanto, conseguiremos provar que p - t = - p ( t ) , para todo t ∈ R , chega mais! p - t =   - a t - b t 3 - c t 5 - … - a n t 2 n + 1 - p t =   - a t + b t 3 + c t 5 + … + a n t 2 n + 1

Igualando ambos e fazendo as manipulações necessárias: - a t - b t 3 - c t 5 - … - a n t 2 n + 1 = - a t + b t 3 + c t 5 + … + a n t 2 n + 1  

- a t - b t 3 - c t 5 - … - a n t 2 n + 1 = - a t - b t 3 - c t 5 - … - a n t 2 n + 1

Essa resolução te ajudou? Responde Aí! Até a próxima, tchaaaaau!!

Resposta

- a t - b t 3 - c t 5 - … - a n t 2 n + 1 = - a t - b t 3 - c t 5 - … - a n t 2 n + 1

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