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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.Teste do Capítulo - Ex. 2

Mostre que t ,   t 3 ,   t 5 , … , t 2 n + 1 é uma base para o subespaço dos polinômios que satisfazem p - t = - p ( t ) , para todo t ∈ R .

Passo 1

E aí galerinha!! Beleza? Aqui temos uma questão bem bacana de Álgebra Linear, vamos lá?Vamos separar as condições, para a nossa resolução ficar mais fácil, chamaremos esse conjunto de “S”, apenas para nomear mesmo, não é nenhuma obrigatoriedade, você pode chamar da letra que quiser! S =   t ,   t 3 ,   t 5 , … , t 2 n + 1

p - t = - p ( t ) , para todo t ∈ R .

Passo 2

A primeira coisa que faremos, é construir um polinômio genérico com os elementos do conjunto em que chamamos de “S”, ele fica assim: p =   a 1 ∙ t + a 3 ∙ t 3 + a 5 ∙ t 5 + … + a n ∙ t 2 n + 1

p =   a 1 t + a 3 t 3 + a 5 t 5 + … + a n t 2 n + 1

Passo 3

Agora, iremos realizar a soma dos termos ímpares, sabendo que: todo polinômio com expoente ímpar cumpre com p - x = - p ( x ) , ficando assim:

p =   a t + b t 3 + c t 5 + … + a n t 2 n + 1

Passo 4

Por fim realizaremos a substituição do polinômio “p” por p - t , resultando em: p =   a t + b t 3 + c t 5 + … + a n t 2 n + 1 p - t =   - a t - b t 3 - c t 5 - … - a n t 2 n + 1

Portanto, conseguiremos provar que p - t = - p ( t ) , para todo t ∈ R , chega mais! p - t =   - a t - b t 3 - c t 5 - … - a n t 2 n + 1 - p t =   - a t + b t 3 + c t 5 + … + a n t 2 n + 1

Igualando ambos e fazendo as manipulações necessárias: - a t - b t 3 - c t 5 - … - a n t 2 n + 1 = - a t + b t 3 + c t 5 + … + a n t 2 n + 1  

- a t - b t 3 - c t 5 - … - a n t 2 n + 1 = - a t - b t 3 - c t 5 - … - a n t 2 n + 1

Essa resolução te ajudou? Responde Aí! Até a próxima, tchaaaaau!!

Resposta

- a t - b t 3 - c t 5 - … - a n t 2 n + 1 = - a t - b t 3 - c t 5 - … - a n t 2 n + 1

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que se uma reta em R 2 ou em R 3 não passa pela origem, então ela não é um subespaço. (Sugestão: se ela fosse um subespaço, então…)
Determine uma base para o plano a x + b y + c z=0 no caso em que b ≠ 0 e no caso em que c ≠ 0 .
Considere os seguintes subespaços de R 3 : V=[ ( - 1,2 , 3 ) , ( 1,3 , 4 ) ] e W= [ ( 1,2 , - 1 ) , ( 0,1 , 1 ) ] . Encontre as equações paramétricas da reta V ∩ W e uma base para o subespaço V ∩ W .
Seja V = { ( 3 a + 4 b - 4 c ) , 2 a - 4 b - 6 c , - 2 a - 4 b + 2 c ) |a , b , c∈ R } um subespaço de R 3 .b) Determine uma base para V .
Seja W o plano x+2 y+ 4 z = 0 . Obtenha uma base { V 1 , V 2 , V 3 } de R 3 tal que V 1 e V 2 pertençam a W .