Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.Teste do Capítulo - Ex. 4
Seja um conjunto de polinômios tais que o grau de é igual a k, para . Mostre que S é uma base para o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a n.
Passo 1
E aí galerinha!! Beleza? Aqui temos uma questão bem bacana de Álgebra Linear, vamos lá?
Vamos separar as condições, para a nossa resolução ficar mais fácil:
Pessoal, precisamos determinar que o conjunto , seja uma base para o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a n, entretanto, precisamos saber quais condições precisam ser atendidas para um tal conjunto ser base: 1ª condição: O conjunto deve ser linearmente independente, ou seja, não há possibilidade de escrever nenhum elemento do conjunto como combinação linear de outro2ª condição: O conjunto deve gerar todo o espaço
Passo 2
A primeira parte é demonstrar que são linearmente independentes, uma vez que:
são constantes, essa equação só pode admitir solução trivial, para provar que S é uma base para o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a n. Essa definição só vale para uma vez que dois polinômios só são iguais se todos os coeficientes são iguais, portanto aí está a resolução.
Passo 3
Por fim, gera todo o espaço de polinômios de grau menor ou igual que n, uma vez que qualquer ), podendo ser descrito como .
Portanto, é uma base ). Logo:
Essa resolução te ajudou? Responde Aí! Até a próxima, tchaaaaau!!