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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.5 - Ex. 5

Encontre uma decomposição em valores singulares de A.

1 - 1 1 1

Passo 1

Primeiro temos de encontrar os autovalores de A T A , para podermos encontrar os valores singulares de A .

A T A = 1 1 - 1 1 ⋅ 1 - 1 1 1 = 2 0 0 2

Agora calculando o determinante da nossa matriz pela matriz identidade λ

det ⁡ A T A - λ I = 2 - λ 0 0 2 - λ = 0

Assim temos que:

2 - λ 2 = 0

λ 1,2 = 2

σ 1,2 = 2

Passo 2

Agora temos de encontrar os autovetores unitários correspondentes aos nossos autovalores.

( A T A - λ 1,2 ) x = 0 → 0 0 0 0 a b = 0 0

Assim:

x 1 = 1 ,   0 ,   x 2 = ( 0 ,   1 )

v 1 = 1 ,   0 ,   v 2 = ( 0 ,   1 )

Passo 3

Assim nossa decomposição de valores singulares fica:

A = 1 - 1 1 1 = 1 2 - 1 2 1 2 1 2 ⋅ 2 0 0 2 ⋅ 1 0 0 1 = U Σ V T

Resposta

1 - 1 1 1 = 1 2 - 1 2 1 2 1 2 ⋅ 2 0 0 2 ⋅ 1 0 0 1

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