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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 10

Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes de A = (1, −1, 2) e B = (4, 3, 1). Este plano passa pelo ponto médio de AB? Ele é perpendicular ao segmento AB?

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

Como queremos o ponto que está a uma mesma distância de A   e   B , vamos utilizar a fórmula da distância entre pontos. Vamos considerar um ponto genérico como x , y , z :

d ( x , y , z ) ,   A = d ( ( x , y , z ) ,   B )

Bora lá então:

d P r ,   A = x - 1 2 + y + 1 2 + z - 2 2 = x 2 - 2 x + 6 + y 2 + 2 y + z 2 - 4 z

d P r ,   B = x - 4 2 + y - 3 2 + z - 1 2 = x 2 - 8 x + 26 + y 2 - 6 y + z 2 - 2 z

Passo 2

Agora a gente iguala essas distâncias...

x 2 - 2 x + 6 + y 2 + 2 y + z 2 - 4 z =   x 2 - 8 x + 26 + y 2 - 6 y + z 2 - 2 z

x 2 - 2 x + 6 + y 2 + 2 y + z 2 - 4 z = x 2 - 8 x + 26 + y 2 - 6 y + z 2 - 2 z  

- 2 x + 8 x + 2 y + 6 y - 4 z + 2 z + 6 - 26 = 0

6 x + 8 y - 2 z - 20 = 0

O lugar geométrico então é esse plano aí!

Passo 3

O ponto médio de A B é:

( 5 ,   2,3 ) 2

Vamos ver se esse ponto satisfaz a equação do plano:

6 5 2 + 8 1 - 2 3 2 - 20 = 0

0 = 0

Como satisfez, então o plano passa pelo ponto médio de AB.

Passo 4

Para ser perpendicular, o vetor normal do plano tem que ser paralelo ao vetor A B → ..

A B → = ( 3,4 , - 1 )

E o vetor normal ao plano é:

( 6,8 , - 2 )

Os vetores são múltiplos, então são paralelos. Sendo assim, o plano é perpendicular a AB.

Resposta

6 x + 8 y - 2 z - 20 = 0

Sim.

Sim.

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