Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 10
Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes de A = (1, -1, 2) e B = (4, 3, 1). Este plano passa pelo ponto médio de AB? Ele é perpendicular ao segmento AB?
Passo 1
Por “lugar geométrico”, o problema se refere a um plano. Dessa forma, podemos buscar coordenadas x, y e z desse plano que sejam equidistantes de A e B. Podemos utilizar vetores para indicar a ligação de um ponto do plano desejado aos pontos A e B de forma que:
A norma dos vetores indica a distância entre e os pontos A e B.
Para o ponto A:
Para o ponto B:
Como desejamos ter a mesma distância entre e A e e B:
Passo 2
Para respondermos a segunda pergunta, primeiro devemos calcular o ponto médio de AB:
Em que e são vetores que ligam os pontos A e B e a origem. Sabemos que A = (1, -1, 2) e B = (4, 3, 1):
A soma desses vetores pode ser dada por:
Substituindo esses pontos na equação do plano encontrada no Passo 1:
Ou seja, as coordenadas satisfazem a equação do plano. Como a equação do plano foi satisfeita, isso significa que o ponto médio de A e B está incluso no plano.
Passo 3
Por fim, para descobrirmos se o plano é perpendicular ao segmento AB, vamos calcular o vetor
Para que o plano e AB sejam perpendiculares, o vetor normal ao plano (N = (6, 8, -2)) e o vetor devem ser paralelos, ou seja, um deve ser múltiplo do outro:
Dessa forma, como N e são paralelos, o plano encontrado é perpendicular a AB.
Resposta
A equação do plano é
O plano passa pelo ponto médio de AB.
O plano é perpendicular a AB.