Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 24
Obtenha uma equação vetorial da reta , concorrente com e contida em , sabendo que a medida angular ente e é
Passo 1
Primeiramente, para facilitar as análises posteriores, vamos escrever a equação vetorial da reta . Então,
Então,
E agora? O que temos que fazer para descobrir a equação da reta ? Precisamos descobrir as coordenadas de um ponto e do seu vetor diretor.
Então, vejam só. Sabemos que está contida no plano . Também sabemos que intercepta a reta . Então, automaticamente, sabemos as coordenadas de um ponto de . Ele é a interseção de com o plano ! Calculando-o, temos:
Portanto, o ponto é um ponto que pertence a reta , pertence ao plano e também pertence a reta ! Assim, podemos escrever da seguinte forma:
Passo 2
Agora só nos resta descobrirmos as coordenadas do vetor diretor da reta . Para isto, vamos assumir que . Precisamos então descobrir os valores de , e que satisfazem a nossa questão.
A primeira restrição é que a reta está contida no plano . Portanto, o vetor diretor de é ortogonal ao vetor normal de . Então,
Desenvolvendo esta relação,
Portanto, sabemos que o vetor tem coordenadas .
Passo 3
Precisamos de mais uma relação para poder finalizarmos o vetor diretor. Esta relação sairá da medida angular de com . Mas, antes disto, vamos escrever o seno do ângulo entre os dois.
Sabemos que o ângulo entre eles é . Consequentemente, .
Então, o seno do ângulo será:
Agora sim podemos escrever a relação de medida angular entre a reta e o plano . Ela será:
Elevando ao quadrado ambos os membros, temos:
Considerando como uma variável e como uma constante qualquer, podemos resolver a equação do segundo grau acima. Com isto, vamos obter:
Analisando a primeira solução, temos , o que nos dá o vetor , ou, simplesmente, .
Já para a segunda solução, , temos o vetor , ou, simplesmente, .
Desta forma, temos duas possibilidades de retas. Elas são: