Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 25

São dados o ponto P = 0,1 , 0 , o plano π : 2 x + y + z - 4 = 0 e a reta s : X = 1 , - 1,1 + λ 2,3 , 1 . Obtenha equações da reta que contém P e é concorrente com s , de tal modo que a medida angular entre ela e π seja arccos ⁡ 35 6 .

Passo 1

Logo de cara a questão nos diz que a reta r que buscamos contém o ponto P = 0,1 , 0 . Portanto, já podemos escrever:

r : X = P + λ r →

r : X = 0,1 , 0 + λ r →

A questão é descobrir este vetor diretor. Como fazer?

Bom, outra informação que a questão nos diz é que r é concorrente com s . Isto significa dizer que existe um ponto de s que pertence a r . Repetindo, isto significa dizer que existe um valor de μ tal que X = 1 + μ , - 1 + 3 μ , 1 + μ , que pertence a s , também pertence a r .

Então, nosso trabalho será descobrir o valor de λ que dá o ponto X que pertence a ambas as retas! Agora, iremos escrever o vetor diretor da reta em função do ponto X (consequentemente, escrever a reta). Logo,

r : X = 0,1 , 0 + λ P X →

r : X = 0,1 , 0 + λ X - P

r : X = 0,1 , 0 + λ 1 + 2 μ , - 2 + 3 μ , 1 + μ

Agora sim, uma equação de r em função do parâmetro μ .

Passo 2

Precisamos de mais uma relação para poder finalizarmos o vetor diretor. Esta relação sairá da medida angular de r com π . Mas, antes disto, vamos escrever o seno do ângulo entre os dois.

Sabemos que o ângulo entre eles é θ = arccos ⁡ 35 6 . Consequentemente, cos ⁡ θ = 35 6 .

Então, o seno do ângulo será:

sen ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ = 1 - 35 36 = 1 36 = 1 6

Agora sim podemos escrever a relação de medida angular entre a reta r e o plano π 2 . Ela será:

sen ⁡ θ = r → ⋅ n → | | r → | | ⋅ | | n → | |

1 6 = 1 + 2 μ , - 2 + 3 μ , 1 + μ ⋅ 2,1 , 1 1 + 2 μ 2 + - 2 + 3 μ 2 + 1 + μ 2 ⋅ 2 2 + 1 2 + 1 2

1 6 = 2 + 4 μ - 2 + 3 μ + 1 + μ 1 + 4 μ + 4 μ 2 + 4 - 12 μ + 9 μ 2 + 1 + 2 μ + μ 2 ⋅ 6

1 6 = 8 μ + 1 6 - 6 μ + 14 μ 2 ⋅ 6

6 ⋅ 8 μ + 1 = 6 ⋅ 6 - 6 μ + 14 μ 2

Elevando ao quadrado ambos os membros, temos:

36 ⋅ 8 μ + 1 2 = 6 ⋅ 6 - 6 μ + 14 μ 2

6 ⋅ 64 μ 2 + 16 μ + 1 = 6 - 6 μ + 14 μ 2

384 μ 2 + 96 μ + 6 = 6 - 6 μ + 14 μ 2

3 70 μ 2 + 102 μ = 0

2 μ 185 μ + 51 = 0

Portanto, temos μ 1 = 0 ou μ 2 = - 51 185 . Substituindo estes valores na equação da reta r , temos:

r 1 : X = 0,1 , 0 + λ 1 , - 2,1

r 2 : X = 0,1 , 0 + λ 83 185 , - 523 185 , 134 185

Ou melhor, reescrevendo o vetor diretor da reta r 2 , mas mantendo o paralelismo, temos:

r 2 : X = 0,1 , 0 + λ 83 , - 523,134

Resposta

r 1 : X = 0,1 , 0 + λ 1 , - 2,1

r 2 : X = 0,1 , 0 + λ 83 , - 523,134

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule as medidas angulares entre a reta que contém a diagonal de um cubo e os planos que contêm suas faces.
Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta r e forma ângulo de θ radianos com s .(a) sen ⁡ θ = 1 / 11 s : X = 1 , 1 , 0 + λ 3,1 , 1 r : x - 3 z + 3 = y = 2
Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta r e forma ângulo de θ radianos com s .(a) cos ⁡ θ = 4 3 / 7 s : X = 1,0 , 0 + λ 1,2 , 3 r : c o n t é mA = 1,0 , - 2eB = 1,1 , 0 é
Obtenha uma equação vetorial da reta r , concorrente com s : 2 x - y + z + 6 = 0 = x - z e contida em π 1 : 3 x - 2 y - 2 z + 7 = 0 , sabendo que a medida angular ente r e π 2 : x + y = 2 é arccos ⁡ 1