São dados o ponto P = 0,1 , 0 , o plano π : 2 x + y + z - 4 = 0 e a reta s : X = 1 , - 1,1 + λ 2,3 , 1 . Obtenha equações da reta que contém P e é concorrente com s , de tal modo que a medida angular entre ela e π seja arccos ⁡ 35 6 .

r 1 : X = 0,1 , 0 + λ 1 , - 2,1 r 2 : X = 0,1 , 0 + λ 83 , - 523,134

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 25

São dados o ponto , o plano e a reta . Obtenha equações da reta que contém e é concorrente com , de tal modo que a medida angular entre ela e seja .

Passo 1

Logo de cara a questão nos diz que a reta que buscamos contém o ponto . Portanto, já podemos escrever:

A questão é descobrir este vetor diretor. Como fazer?

Bom, outra informação que a questão nos diz é que é concorrente com . Isto significa dizer que existe um ponto de que pertence a . Repetindo, isto significa dizer que existe um valor de tal que , que pertence a , também pertence a .

Então, nosso trabalho será descobrir o valor de que dá o ponto que pertence a ambas as retas! Agora, iremos escrever o vetor diretor da reta em função do ponto (consequentemente, escrever a reta). Logo,

Agora sim, uma equação de em função do parâmetro .

Passo 2

Precisamos de mais uma relação para poder finalizarmos o vetor diretor. Esta relação sairá da medida angular de com . Mas, antes disto, vamos escrever o seno do ângulo entre os dois.

Sabemos que o ângulo entre eles é . Consequentemente, .

Então, o seno do ângulo será:

Agora sim podemos escrever a relação de medida angular entre a reta e o plano . Ela será:

Elevando ao quadrado ambos os membros, temos:

Portanto, temos ou . Substituindo estes valores na equação da reta , temos:

Ou melhor, reescrevendo o vetor diretor da reta , mas mantendo o paralelismo, temos:

Resposta

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Calcule as medidas angulares entre a reta que contém a diagonal de um cubo e os planos que contêm suas faces.

Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta r e forma ângulo de θ radianos com s .(a) sen ⁡ θ = 1 / 11 s : X = 1 , 1 , 0 + λ 3,1 , 1 r : x - 3 z + 3 = y = 2

Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta r e forma ângulo de θ radianos com s .(a) cos ⁡ θ = 4 3 / 7 s : X = 1,0 , 0 + λ 1,2 , 3 r : c o n t é mA = 1,0 , - 2eB = 1,1 , 0 é

Obtenha uma equação vetorial da reta r , concorrente com s : 2 x - y + z + 6 = 0 = x - z e contida em π 1 : 3 x - 2 y - 2 z + 7 = 0 , sabendo que a medida angular ente r e π 2 : x + y = 2 é arccos ⁡ 1