Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 26
Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta e forma ângulos congruentes com as retas e .
Passo 1
A questão nos pede para determinar a equação geral de um plano . Isto é, determinar os valores de , , e tais que
Inicialmente, vamos focar em determinar os valores de , e , pois eles são as coordenadas do vetor normal ao plano, .
Então, vamos a nossa primeira relação. De cara, a questão diz que o plano contém a reta. Isto nos diz duas informações: os pontos de pertencem a (utilizaremos esta informação no final para descobrir o valor de ), e que o vetor é ortogonal ao vetor .
Se dois vetores são ortogonais, temos:
Portanto, o vetor normal ao plano tem o formato .
Passo 2
Precisamos de mais uma relação para poder finalizarmos o vetor diretor. Esta relação sairá da congruência de com e . Ângulos congruentes nada mais são do que mesmos.
Portanto, a medida angular de e é exatamente a mesma medida angular de e . Escrevendo esta rela
Então, temos duas possibilidades:
Da primeira equação, obtemos . Então, . Com isto, vamos obter o vetor normal . Ou também, escrevendo através de um vetor paralelo, temos . Portanto, o plano possui o seguinte formato:
Repetindo o procedimento para a segunda equação, vamos obter . Portanto, . Obtendo um vetor paralelo, , e o plano possui o seguinte formato:
Passo 3
Para finalizarmos a questão, precisamos descobrir o valor de nas equações de e . Para isto, basta substituir as coordenadas , que pertencem tanto a reta quanto aos planos , na equação de cada plano e descobrir o valor de associado.
Começando pelo plano , temos:
Já para , temos:
Portanto, os planos e são: