Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 16
São apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas:
a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. é injetora?
b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. é sobrejetora?
Passo 1
O problema fornece para nós uma transformação linear. Temos que determinar o núcleo e a imagem dessa transformação.
Para resolver o item a) vamos achar o núcleo, e para isso temos que lembrar que se :
Assim temos que resolver o seguinte sisteminha,
Tiramos que:
A única solução desse sistema é se . Portanto, apenas o vetor nulo está contido no núcleo:
Assim, temos que é injetora (pois o núcleo só contém o vetor nulo) e .
Passo 2
Agora para responder o item b) vamos estudar a imagem de :
Assim, a imagem é gerada pelo conjunto de vetores:
Como esse conjunto é LI e gerador, trata-se de uma base para . Assim,
Note que , de modo que é sobrejetora.
Resposta
É injetora e sobrejetora.