Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares.

T :   M ( 2 ,   2 ) → R ,     T a b c d = det ⁡ a b c d

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a transformação é linear ou não. Aqui você deve lembrar que se uma transformação é linear, valem as seguintes propriedades:

T u + v = T u + T ( v )

T λ u = λ T ( u )

Neste caso, temos que

T a b c d = det ⁡ a b c d = a d - b c

Passo 2

Se tentarmos verificar a segunda propriedade, vemos que

T λ a b c d = T λ a λ b λ c λ d = λ 2 a d - λ 2 b c

Colocando λ 2 em evidência:

T λ a b c d = λ 2 a d - b c = λ 2   T a b c d

Como o termo que apareceu foi λ 2 (não λ ), a segunda propriedade não é verifica e T não é linear!

Resposta

Não

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