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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 18

Encontre uma matriz unitária P que diagonalize a matriz hermitiana A e determine P - 1 A P .

A = 2 i 2 - i 2 - i 2 2 0 i 2 0 2

Passo 1

Devemos nos lembrar que a equação característica da nossa matriz A de acordo com o teorema 5 é dada na seguinte forma

det ⁡ λ I - A = 0

Colocando sob a forma matricial podemos reescrever a equação acima como sendo

det ⁡ λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ - 2 i 2 - i 2 - i 2 2 0 i 2 0 2 = det ⁡ λ - 2 - i 2 2 i 2 2 i 2 2 λ - 2 0 - i 2 2 0 λ - 2

Esse determinante nos fornece a seguinte equação característica

det ⁡ A = λ 3 - 6 λ 2 + 11 λ - 6

Cujas raízes são λ 1 = 1   ,   λ 2 = 2 , λ 3 = 3 . Obs: para encontrar as raízes inspecionamos os divisores do termo independente e encontramos 1 como raíz, depois aplicamos o dispositivo de Briott-Ruffini para reduzir o grau do polinômio e encontrarmos as duas outras raízes fazendo baskhara ou soma e produto.

Passo 2

Pois bem, devemos nos lembrar que para encontrar os auto vetores que correspondem aos autovalores, resolvemos um sistema não trivial dado por

λ I - A ⋅ x = 0

Na notação matricial fica sendo

λ - 2 - i 2 2 i 2 2 i 2 2 λ - 2 0 - i 2 2 0 λ - 2 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Para o primeiro autovalor λ 1 = 1 vamos obter o seguinte sistema

- 1 - i 2 2 i 2 2 i 2 2 - 1 0 - i 2 2 0 - 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Faremos as seguintes operações com esse sistema

T r o c a s   a   L 3   c o m   a   L 1   d e   l u g a r ,   L 2 + L 1 → L 2

Obteremos o seguinte

- i 2 2 0 - 1 0 - 1 - 1 - 1 - i 2 2 i 2 2  

Agora, faremos

L 3 + i 2 L 1 → L 3 ,   t r o c a r   a   L 2   c o m   a   L 3   d e   l u g a r

E, assim, vamos encontrar

- i 2 2 0 - 1 0 - i 2 2 - i 2 2 0 - 1 - 1

Por fim, faremos

i 2 L 2 → L 2 ,   i 2 L 1 → L 1

Então, ficamos com

1 0 - i 2 0 1 1 0 0 0 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

→ x 1 - i 2 x 3 = 0 → x 1 = i 2   x 3 ,   x 2 + x 3 = 0 → x 2 = - x 3

Assim, teremos o seguinte auto vetor associado ao primeiro autovalor

i 2 - 1 1

Passo 3

Repetindo o mesmo processo para o nosso segundo autovalor λ 2 = 1 vamos obter

0 - i 2 i 2 - i 2 0 0 i 2 0 0 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Realizaremos as seguintes operações, em sequência, com nosso sistema

t r o c a r   a   L 2   c o m   a   L 3   d e   l u g a r ,   L 2 + L 1 → L 2 ,   L 2   t r o c a   d e   l u g a r   c o m   L 3

E vamos obter o nosso sistema reescrito como

i 2 0 0 0 i 2 - i 2 0 0 0

Faremos, por fim, o seguinte

- i 2 L 2 → L 2 ,   - i 2 L 1 → L 1

Assim, obteremos

1 0 0 0 1 - 1 0 0 0 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

→ x 1 = 0 ,   x 2 - x 3 = 0 → x 2 = x 3  

Assim, o nosso autovetor associado ao nosso segundo autovalor será

0 1 1

Passo 4

Agora, vamos repetir o mesmo procedimento para o ultimo autovalor λ 3 = 3 obtendo o sistema

1 - i 2 2 i 2 2 - i 2 2 1 0 i 2 2 0 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Realizaremos as seguintes operações, em sequência, com nosso sistema

t r o c a r   a   L 3   c o m   a   L 1   d e   l u g a r ,     L 2 + L 1 → L 2

L 3 - i 2 L 1 → L 3 ,     L 2   t r o c a   d e   l u g a r   c o m   L 3

L 3 - i 2 L 2 → L 3 ,     i 2 L 2 → L 2 ,     i 2 L 1 → L 1

Então nosso sistema passa a ser o seguinte

1 0 i 2 0 1 1 0 0 0 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

→ x 1 + i 2 x 3 = 0 → x 1 = - i 2 x 3

x 2 + x 3 = 0 → x 2 = - x 3

Teremos, nesse caso, o seguinte autovetor associado ao nosso terceiro autovalor

- i 2 - 1 1

Passo 5

Aplicando o algoritmo de Gram-Schmidt para cada uma dessas bases para obter bases ortonormais para os auto espaços. Então teremos

v 1 = x 1 x 1

v 1 = 1 i 2 2 + | - 1 | 2 + 1 2 ⋅ i 2 - 1 1 = 1 2 ⋅ i 2 - 1 1 = i 2 2 - 1 2 1 2

Procedendo de maneira igual para v 2 teremos

v 2 = x 2 x 2 = 1 0 2 + 1 2 + | 1 | 2 ⋅ 0 1 1 = 1 2 ⋅ 0 1 1

v 2 = 0 1 2 1 2

Do mesmo jeito para v 3 teremos

v 3 = 1 i 2 2 + | - 1 | 2 + 1 2 ⋅ - i 2 - 1 1 = 1 2 ⋅ - i 2 - 1 1 = - i 2 2 - 1 2 1 2

Portanto, A é diagonalizável pela matriz unitária

P = i 2 2 - 1 2 1 2 0 1 2 1 2 - i 2 2 - 1 2 1 2

Ainda conseguimos encontrar a matriz P - 1 fazendo

P - 1 = 1 det ⁡ P ⋅ a d j   P = i 2 2 - 1 2 1 2 0 1 2 1 2 - i 2 2 - 1 2 1 2

Passo 6

Finalmente, para concluirmos o nosso exercício vamos calcular P - 1 A P fazendo

P - 1 A P = i 2 2 - 1 2 1 2 0 1 2 1 2 - i 2 2 - 1 2 1 2 ⋅ 2 i 2 - i 2 - i 2 2 0 i 2 0 2 ⋅ i 2 2 - 1 2 1 2 0 1 2 1 2 - i 2 2 - 1 2 1 2

Lembrando que a multiplicação de matrizes se dá fazendo linha vezes coluna vamos multiplicar as matrizes duas a duas da parte mais a esquerda e obteremos o seguinte

P - 1 A P = 3 i 2 2 - 3 2 3 2 0 2 2 - i 2 2 - 1 2 1 2 ⋅ i 2 2 - 1 2 1 2 0 1 2 1 2 - i 2 2 - 1 2 1 2

P - 1 A P = 3 0 0 0 2 0 0 0 1

Resposta

P = i 2 2 - 1 2 1 2 0 1 2 1 2 - i 2 2 - 1 2 1 2   ,   P - 1 A P = 3 0 0 0 2 0 0 0 1

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