Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 26
Nos exercício de 23-26, seja T a multiplicação pela matriz A. Encontre
- Uma vase da imagem de T
- Uma base do núcleo de T
- O posto e a nulidade de T
- O posto e a nulidade de A
Passo 1
Item A)
Temos a matriz A:
Vamos fazer a matriz triangular superior. Primeiro pegamos a primeira linha e utilizamos ela para zerar as demais:
A segunda e terceira linha são iguais, então podemos eliminar a terceira. Vamos aproveitar e dividir a segunda por , e a quarta linha por
Agora vamos pegar a segunda linha e subtrair na quarta linhas. Ainda com a segunda linha, vamos multiplica-la por 4 e subtrair na primeira linha:
E reorganizamos as linhas:
Agora perceba que a terceira e quinta colunas podem ser formadas por combinação linear da primeira e segunda coluna. Já a quarta coluna é independente.
As primeira, a segunda, e a quarta coluna são idependentes entre si, então elas formam a base do espaço coluna de A. Esse espaço coluna de A é igual a base da imagem de T
Passo 2
Item B)
Agora vamos resolver o sistema:
Resolvendo:
Se chamarmos de e de :
Isso forma a base do espaço nulo de A, que é o núcleo de T:
Passo 3
O Posto de T é igual a dimensionalidade da base da imagem de T
A nulidade de T é igual a dimensão do núcleo de T:
Passo 4
O espaço coluna de A é tridimensional, então o posto é:
O espaço nulo de A é bidimensional, então a nulidade de A é?
Resposta
- e
- e