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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.3 - Ex. 21

Prove que se A e B são matrizes n xx n , então t r (A + B) = t r (A) + t r ( B )

Passo 1

Para denotarmos essa produto A + B , vamos tomar que as duas matrizes A e B possuem a mesma dimensão e, se podemos calcular seu traço, são quadradas.

[[A,B],[n,xx,n,n,xx,n]]

Passo 2

Como o traço de A é dado tal que

t r (A) = a_11 + a_22 + a_33 + ... + a_n n

t r (A) = sum_(i = 1)^n a_i i

E o traço de B :

t r (B) = b_11 + b_22 + b_33 + ... + b_n n

t r (B) = sum_(i = 1)^n b_i i

Passo 3

Vamos tomar que cada valor da matriz A + B é:

[[[[[a_11,+,b_11,a_12,+,b_12],[a_21,+,b_21,a_22,+,b_22]],cdots,[[a_1 n,+,b_1 n],[a_2 n,+,b_2 n]]],[vdots,ddots,vdots],[a_n 1,+,b_n 1,cdots,a_n n,+,b_n n]]]

Vemos que seu traço é dado por:

t r (A + B) = ( a_11 + b_11 ) + ( a_22 + b_22 ) + ( a_33 + b_33 ) + ... + ( a_n n + b_n n )

t r (A + B) = sum_(i = 1)^n ( a_i i + b_i i )

Passo 4

Agora, se tomarmos:

t r (A) + t r (B) = a_11 + a_22 + a_33 + ... + a_n n + b_11 + b_22 + b_33 + ... + b_n n

t r (A) + t r (B) = ( a_11 + b_11 ) + ( a_22 + b_22 ) + ( a_33 + b_33 ) + ... + ( a_n n + b_n n )

t r (A) + t r (B) = sum_(i = 1)^n ( a_i i + b_i i )

Assim, temos:

t r (A) + t r (B) = t r (A + B)

Resposta

Vide a demonstração, provamos que t r (A) + t r (B) = t r (A + B)

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